Das Bogenmaß

Winkel misst du bisher in Grad. Es gibt ein zweites Maß: das Bogenmaß. Du misst den Winkel als Länge am Rand eines Kreises mit Radius \(1\).

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Das Video

Im Video läuft ein Bogen am Einheitskreis entlang. Du siehst, wie du zwischen Grad und Bogenmaß umrechnest.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Länge am Kreisrand

Der Umfang des Einheitskreises ist \(2\pi \approx 6{,}28\). Ganzer Kreis: \(360^\circ = 2\pi\). Viertelkreis: \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\). Halber Kreis: \(180^\circ = \pi\).

Bogenlängen am Einheitskreis: \pi/2 und \pi. — Bogenlängen am Einheitskreis: \(\frac{\pi}{2}\) und \(\pi\).

Umrechnen

\(180^\circ\) entsprechen \(\pi\). Grad \(\to\) Bogenmaß: \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). Bogenmaß \(\to\) Grad: \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). Beispiel: \(60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\).

Wichtige Winkel

\(30^\circ = \frac{\pi}{6}\), \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\), \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\), \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\), \(180^\circ = \pi\), \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\), \(360^\circ = 2\pi\).

Die wichtigen Winkel in Grad und im Bogenmaß.

Achtung: Nicht \(\pi = 180\)! Es gilt \(\pi \approx 3{,}14\), aber der Winkel \(\pi\) ist \(180^\circ\). In GeoGebra rechnet sin(90°) in Grad, sin(90) im Bogenmaß.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Rechne \(120^\circ\) ins Bogenmaß um. Rechne dann \(\frac{3\pi}{4}\) in Grad um.

Lösung anzeigen

\(120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}\). \(\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ\).

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: das Bogenmaß (Grad und Bogenmaß umrechnen, Einheitskreis). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.