Physik
Optik: Linsen und Bilder Optische Instrumente
Mathematik
Schriftliches Rechnen Arithmetik/Algebra
Schriftlich addieren
Große Zahlen addierst du Spalte für Spalte, von rechts nach links. Du lernst den Übertrag, den Überschlag und einen häufigen Fehler.
Schriftlich subtrahieren
Beim Minus fragst du: Wie viel fehlt von der unteren Ziffer bis zur oberen? Du lernst das Ergänzungsverfahren mit Übertrag und die Probe mit Plus.
Schriftlich multiplizieren
Du multiplizierst jede Ziffer einzeln und addierst am Ende die Zeilen. Du lernst das Verfahren mit einer und mit zwei Ziffern und einen Trick für Nullen am Ende.
Schriftlich dividieren: einstelliger Teiler
Du rechnest von links nach rechts. Vier Schritte wiederholen sich: teilen, malnehmen, abziehen, herunterholen. Du lernst auch den Rest und die Null im Ergebnis.
Schriftlich dividieren: zweistelliger Teiler
Das Verfahren bleibt gleich. Neu: Du musst die Ergebnisziffer schätzen und prüfen, ob der Rest kleiner als der Teiler ist.
Überschlag und Probe
Stimmt dein Ergebnis? Der Überschlag zeigt es ungefähr, die Probe genau. Du lernst Runden, Überschlag bei allen vier Rechenarten und die Umkehraufgabe.
Größen und Einheiten Arithmetik/Algebra
Längen umrechnen
Schulweg, Bleistift, Haar: Für Längen brauchst du verschiedene Einheiten. Du lernst km, m, dm, cm und mm und das Umrechnen mit der Einheitentreppe.
Masse umrechnen
Ein Apfel wiegt 200 g, ein Mensch 70 kg, ein Auto 1 t. Die Umrechnungszahl bei der Masse ist immer 1000.
Zeit und Zeitspannen
Eine Schulstunde dauert 45 Minuten. Bei der Zeit rechnest du mit 60, nicht mit 10 oder 100. Du berechnest Zeitspannen und rechnest Stunden mit Komma um.
Geld: Euro und Cent
In Deutschland bezahlst du mit Euro. 1 € = 100 ct. Du schreibst Geld mit Komma, rechnest mit Geld und rundest auf zwei Stellen.
Flächeneinheiten
Zimmer, Fußballfeld, Stadt: Flächen misst du in m², ha und km². Die Umrechnungszahl ist 100.
Volumeneinheiten und Liter
Wie viel passt in eine Badewanne? Das Volumen misst du in m³, cm³ oder in Litern. Die Umrechnungszahl ist 1000.
Die Dichte
Holz und Eisen sind gleich groß, aber Eisen ist viel schwerer. Die Dichte sagt, wie viel Masse in 1 cm³ steckt.
Vorsätze und wissenschaftliche Schreibweise
Kilo, Mega, Giga, Milli, Mikro, Nano: Jeder Vorsatz ist eine Zehnerpotenz. Damit schreibst du sehr große und sehr kleine Zahlen kurz.
Geometrie: Geodreieck und Winkel Geometrie
Das Geodreieck
Du lernst das Geodreieck kennen: die Zeichenkante mit dem Lineal, den Nullpunkt und die Maßskala. Du misst und zeichnest Strecken.
Winkel messen
Ein Winkel hat einen Scheitelpunkt und zwei Schenkel. Du misst Winkel mit dem Geodreieck und lernst spitze, rechte und stumpfe Winkel kennen.
Senkrechte zeichnen
Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden. Du zeichnest Senkrechte mit dem Geodreieck und lernst Fußpunkt und Abstand kennen.
Parallelen zeichnen
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand haben. Du zeichnest Parallelen mit dem Geodreieck. Dabei helfen die Parallelen zur Zeichenkante.
Winkel zeichnen
Du zeichnest Winkel mit dem Geodreieck – mit zwei Methoden: drehen oder einen Punkt markieren.
Strecke, Strahl, Gerade
Es gibt drei Arten von geraden Linien. Du lernst, wie sie heißen, wie man sie schreibt und wie du eine Gerade durch zwei Punkte zeichnest.
Große Winkel
Gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel, Vollwinkel: Du lernst die großen Winkel kennen und misst und zeichnest überstumpfe Winkel.
Kreise zeichnen
Du lernst Mittelpunkt, Radius und Durchmesser kennen und zeichnest Kreise mit dem Zirkel.
Geometrie: Figuren, Symmetrie, Schrägbild Geometrie
Drehsymmetrie und Punktsymmetrie
Du lernst, was drehsymmetrisch und punktsymmetrisch heißt, und bestimmst den Drehwinkel.
Rechteck und Quadrat zeichnen
Du lernst die Eigenschaften von Rechteck und Quadrat kennen und zeichnest beide genau mit dem Geodreieck.
Achsensymmetrie
Du lernst, was achsensymmetrisch heißt, findest Symmetrieachsen und spiegelst Punkte und Figuren mit dem Geodreieck.
Schrägbilder zeichnen
Du zeichnest Würfel und Quader als Schrägbild auf Karopapier.
Dreiecke beschriften und unterscheiden
Du lernst, wie man Ecken, Seiten und Winkel eines Dreiecks beschriftet, und du lernst die Arten von Dreiecken kennen.
Maßstab
Pläne und Karten sind kleiner als die Wirklichkeit. Der Maßstab sagt, wie viel kleiner oder größer.
Verschiebung
Bei einer Verschiebung rutscht eine Figur: Sie dreht sich nicht und bleibt gleich groß. Jeder Punkt wandert gleich weit in dieselbe Richtung.
Flächeninhalt ebener Figuren Geometrie
Flächeninhalt: Rechteck und Quadrat
Wie groß ist eine Fläche? Du zählst Einheitsquadrate und findest so die Formel für Rechteck und Quadrat.
Der Umfang
Wie lang ist der Rand einer Figur? Du wickelst den Rand ab und addierst alle Seiten.
Flächeneinheiten umrechnen
Von mm² bis km²: Du lernst die Einheitentreppe kennen. Die Umrechnungszahl ist immer 100.
Zusammengesetzte Figuren
Für eine L-Figur gibt es keine Formel. Du zerlegst sie oder du ergänzt sie.
Flächeninhalt: Parallelogramm
Ein Schnitt entlang der Höhe macht aus dem Parallelogramm ein Rechteck. So findest du die Formel.
Flächeninhalt: Dreieck
Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm. So findest du die Formel für das Dreieck.
Flächeninhalt: Trapez
Zwei gleiche Trapeze ergeben ein Parallelogramm. So findest du die Formel für das Trapez.
Flächeninhalt: Drachen und Raute
Ein Rechteck um die Diagonalen zeigt: Drachen und Raute sind genau halb so groß.
Kreisbogen und Kreissektor
Ein Tortenstück hat die Form eines Kreissektors. Bogen und Fläche sind ein Anteil vom ganzen Kreis: \alpha/360^\circ.
Bruchrechnung Arithmetik/Algebra
Brüche schreiben
Was ist ein Bruch? Du lernst Zähler, Nenner und Bruchstrich kennen. Danach kannst du Brüche lesen und schreiben.
Brüche vergleichen
Welcher Bruch ist größer? Du lernst drei Wege: gleiche Nenner, gleiche Zähler und gleichnamig machen.
Brüche erweitern
1/2 und 3/6 sind gleich viel Pizza. Du lernst, wie man solche gleichen Brüche findet: durch Erweitern.
Brüche kürzen
Kürzen ist der Rückweg vom Erweitern. Du lernst, wann man kürzen kann und warum man so weit wie möglich kürzt.
Brüche addieren
Addieren heißt plus rechnen. Du lernst, wie man Brüche mit gleichen und mit verschiedenen Nennern addiert.
Brüche subtrahieren
Subtrahieren heißt minus rechnen. Es ist der Rückweg vom Addieren – die Strategie ist dieselbe.
Rechnen über eins
5/4 ist mehr als eine ganze Pizza. Du lernst echte und unechte Brüche und gemischte Zahlen kennen – und rechnest mit ihnen plus und minus.
Brüche multiplizieren
Wie groß ist eine Fliese, die 4/5 m breit und 3/4 m hoch ist? Du lernst die Regel für Brüche mal Brüche.
Brüche dividieren
Wie viele Portionen passen hinein? Du lernst den Kehrwert und die Regel für das Teilen durch einen Bruch.
Teiler und Vielfache
Eine Pizza hat 12 Stücke. Kann man sie gerecht an 2, 3, 4 oder 5 Kinder verteilen? Du lernst Teiler und Vielfache kennen und wie du schnell siehst, ob eine Zahl teilbar ist.
Primzahlen
Eine Pizza mit 7 Stücken kann man nur an 1 oder an 7 Kinder gerecht verteilen. Zahlen wie 7 heißen Primzahlen. Du lernst, wie du sie findest und wie du Zahlen in Primzahlen zerlegst.
ggT und kgV
Wie viel sind 1/4 und 1/6 Pizza zusammen? Dafür brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Du lernst das kgV für den Nenner und den ggT zum Kürzen.
Bruchteile von Größen
Eine Pizza kostet 12 €. Du isst 3/4 davon. Wie viel bezahlst du? Du lernst, Bruchteile von Größen zu berechnen und rückwärts das Ganze zu finden.
Gemischte Zahlen: Zahlenstrahl und Vergleichen
Im Rezept steht 11/2 Tassen Mehl. Du legst gemischte Zahlen auf den Zahlenstrahl, wandelst unechte Brüche um und vergleichst gemischte Zahlen.
Gemischte Zahlen: Malnehmen und Teilen
Drei Kinder essen jeweils 11/2 Pizzen. Du lernst, gemischte Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren: erst unechte Brüche, dann rechnen.
Dezimalbrüche Arithmetik/Algebra
Dezimalbrüche
2,57 € oder 1,5 m: Zahlen mit Komma heißen Dezimalbrüche. Du lernst, was die Ziffern nach dem Komma bedeuten und wie man sie liest.
Dezimalbrüche vergleichen und runden
Wer war schneller: 9,8 s oder 9,75 s? Du vergleichst Dezimalbrüche am Zahlenstrahl und Stelle für Stelle. Dann rundest du.
Brüche in Dezimalbrüche umwandeln
Drei Viertel einer Pizza: Wie schreibt man das als Dezimalbruch? Du lernst zwei Wege. Manchmal hört die Rechnung nie auf.
Dezimalbrüche addieren und subtrahieren
Brot 2,45 € und Milch 3,80 €: Was kostet alles zusammen? Du rechnest schriftlich, Komma unter Komma.
Dezimalbrüche multiplizieren
Ein Heft kostet 1,25 €. Was kosten 3 Hefte? Du rechnest ohne Komma und zählst dann die Stellen.
Dezimalbrüche dividieren
7,50 € für 3 Kinder: Wie viel bekommt jedes? Du teilst durch natürliche Zahlen und durch Dezimalbrüche.
Rechengesetze mit Dezimalbrüchen
Mit Rechengesetzen rechnest du schneller, oft im Kopf. Und du lernst, was zuerst kommt.
Stochastik: Daten und Kenngrößen Stochastik
Daten sammeln und Häufigkeiten
20 Kinder antworten auf die Frage „Wie kommst du zur Schule?“. Du sammelst die Daten in einer Strichliste und lernst die absolute und die relative Häufigkeit kennen.
Diagramme zeichnen und lesen
Ein Diagramm zeigt Daten als Bild. Du zeichnest ein Säulendiagramm und ein Kreisdiagramm und liest Zahlen aus einem Diagramm ab.
Mittelwert, Median und Spannweite
Fünf Kinder brauchen 10, 15, 20, 10 und 25 Minuten zur Schule. Drei Werte beschreiben solche Daten: der Mittelwert, der Median und die Spannweite.
Quartile und Boxplot
Acht Kinder schreiben einen Test. Mit den Quartilen und dem Boxplot siehst du, wie die Punkte verteilt sind.
Klasseneinteilung
Bei vielen verschiedenen Werten fasst du Daten in Klassen zusammen, zum Beispiel „145 bis unter 155 cm“.
Terme und Gleichungen Arithmetik/Algebra
Muster und Zahlenfolgen
In einem Muster aus Plättchen steckt eine Zahlenfolge. Mit einem Term berechnest du auch große Figuren schnell.
Terme und Variablen
Aus Hölzern legen wir Quadrate in einer Reihe. Wie viele Hölzer brauchst du für 100 Quadrate? Mit einer Variable und einem Term kannst du das schnell ausrechnen.
Terme vereinfachen
2 Äpfel und 4 Äpfel sind 6 Äpfel. Aber Äpfel und Birnen kann man nicht zusammenzählen. Genauso ist es bei Termen: Du fasst nur gleichartige Glieder zusammen.
Ausmultiplizieren und Ausklammern
Wie rechnest du 3 · 12 im Kopf? Vielleicht so: 3 · 10 + 3 · 2. Genau das machst du auch mit Klammern in Termen.
Gleichungen lösen: die Waage
Auf einer Waage liegen Säckchen und Gewichte. Die Waage ist im Gleichgewicht. Wie schwer ist ein Säckchen? So lernst du, Gleichungen zu lösen.
Gleichungen mit mehreren Umformungen
Jetzt liegen auf beiden Seiten der Waage Säckchen. Du brauchst mehrere Schritte, bis x allein steht.
Gleichungen mit Klammern
Drei Freunde kaufen je ein Heft und einen Stift. Der Stift kostet 2 €. Zusammen bezahlen sie 18 €. Was kostet ein Heft? Die Gleichung hat eine Klammer: 3 · (x + 2) = 18.
Textaufgaben mit Gleichungen
Ein Bruder ist 3 Jahre älter als seine Schwester. Zusammen sind sie 25 Jahre alt. Wie alt ist die Schwester? Du lernst, wie man aus einem Text eine Gleichung macht.
Bruchterme und Bruchgleichungen
Steht die Variable im Nenner, heißt der Term Bruchterm. Der Nenner darf nie 0 werden: Das bestimmt die Definitionsmenge.
Ungleichungen
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit, \leq oder ≥. Ihre Lösung ist meist ein ganzer Bereich von Zahlen.
Prozent- und Zinsrechnung Arithmetik/Algebra, Funktionen
Was ist ein Prozent?
In Klasse A fahren 12 von 20 Kindern mit dem Fahrrad, in Klasse B 15 von 25. Wer fährt mehr? Mit Prozent kannst du solche Anteile leicht vergleichen.
Den Prozentwert berechnen
Eine Jacke kostet 80 €. Heute gibt es 25 \% Rabatt. Wie viel Euro spart man? Du berechnest den Teil vom Ganzen.
Den Grundwert berechnen
Lina hat 60 € gespart. Das sind 40 \% vom Preis eines Fahrrads. Was kostet das Fahrrad? Du kennst den Teil und suchst das Ganze.
Den Prozentsatz berechnen
Im Test gibt es 40 Punkte. Ali hat 30 Punkte. Wie viel Prozent sind das? Du kennst das Ganze und den Teil und suchst den Anteil in Prozent.
Prozentuale Veränderung
Ein Fahrrad kostet 200 €. Der Preis steigt um 10 \%, später sinkt er um 10 \%. Kostet es dann wieder 200 €? Du lernst den Wachstumsfaktor kennen.
Zinsen berechnen
Du bringst 600 € zur Bank. Die Bank zahlt 2 \% Zinsen im Jahr. Wie viel Geld bekommst du dazu? Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit neuen Wörtern.
Zinseszins
Du legst 1000 € für 3 Jahre zu 5 \% an. Die Zinsen bleiben auf dem Konto. Dann bekommen auch die Zinsen Zinsen.
Koordinatensystem Geometrie
Das Koordinatensystem
Beim Spiel „Schiffe versenken“ musst du genau sagen, wo ein Schiff liegt. Dafür brauchst du zwei Zahlen. Du lernst das Koordinatensystem: Punkte eintragen und ablesen.
Vier Quadranten
Was ist links von null und unter null? Dort stehen negative Zahlen. Das Koordinatensystem hat dann vier Teile: die Quadranten.
Körper: Oberfläche und Volumen Geometrie
Körper und Netze
Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel: Du lernst die wichtigsten Körper kennen. Dann wird ein Würfel aufgeklappt und wieder gefaltet.
Die Oberfläche des Quaders
Wie viel Papier brauchst du für ein Geschenk? Du klappst den Quader auf und rechnest alle Flächen zusammen.
Das Volumen des Quaders
Wie viel passt in eine Kiste? Du füllst sie mit kleinen Würfeln und findest die Formel für das Volumen.
Das Prisma
Ein Prisma hat zwei gleiche Grundflächen und einen Mantel aus Rechtecken. Du lernst Volumen und Oberfläche.
Der Zylinder
Ein Zylinder ist wie ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche. Sein Mantel ist ein Rechteck – wie bei einem Farbroller.
Pyramide, Kegel und Kugel
Mit einem Versuch mit Wasser findest du das Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel.
Die Oberfläche der Pyramide
Du klappst eine Pyramide zum Netz auf: ein Quadrat und vier Dreiecke. Für die Dreiecke brauchst du die Höhe der Seitenfläche.
Die Oberfläche des Kegels
Der Mantel eines Kegels ist ein Kreisausschnitt. Zerschnitten wird er fast ein Rechteck – so findest du die Formel.
Das Volumen der Kugel
Warum füllt eine Kugel zwei Drittel des Zylinders? Mit dem Prinzip von Cavalieri und einem Trick von Archimedes findest du die Formel.
Die Oberfläche der Kugel
Eine Kugel hat kein Netz. Mit sehr vielen kleinen Pyramiden findest du trotzdem ihre Oberfläche.
Zusammengesetzte Körper
Für ein Modellhaus gibt es keine Formel. Du zerlegst den Körper in bekannte Teile oder ergänzt ihn zu einem großen Quader.
Geometrie: Dreiecke und Vierecke konstruieren Geometrie
Dreieck konstruieren: SSS
Du konstruierst ein Dreieck, wenn alle drei Seiten gegeben sind.
Dreieck konstruieren: WSW
Du konstruierst ein Dreieck aus einer Seite und den zwei Winkeln an dieser Seite.
Dreieck konstruieren: SWS
Du konstruierst ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen.
Dreieck konstruieren: SsW
Du konstruierst ein Dreieck aus zwei Seiten und einem Winkel, der nicht dazwischen liegt.
Drachen und Raute
Du lernst die Eigenschaften von Drachen und Raute kennen und konstruierst einen Drachen.
Parallelogramm konstruieren
Du lernst die Eigenschaften des Parallelogramms kennen und konstruierst eins.
Trapez konstruieren
Du lernst das Trapez kennen und konstruierst es mit Höhe, Parallele und zwei Winkeln.
Kongruenzsätze
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie genau aufeinanderpassen. Die Kongruenzsätze sagen, welche drei Stücke dafür reichen.
Rationale Zahlen Arithmetik/Algebra
Negative Zahlen
Im Winter zeigt das Thermometer oft weniger als null Grad, zum Beispiel -3 °C. Du lernst die negativen Zahlen auf der Zahlengerade kennen und ordnest sie.
Rationale Zahlen addieren und subtrahieren
Morgens sind es -3 °C. Es wird 5 Grad wärmer. Wie warm ist es dann? Du rechnest mit Sprüngen auf der Zahlengerade.
Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren
Dreimal 2 € Schulden sind 6 € Schulden: 3 · (-2) = -6. Und was ist minus mal minus? Du lernst die Vorzeichenregeln.
Stochastik: Wahrscheinlichkeit Stochastik
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Beim Würfeln weißt du vorher nicht, welche Zahl kommt. Du lernst, wie man die Wahrscheinlichkeit mit der Formel von Laplace ausrechnet.
Baumdiagramm und Pfadregeln
In einer Urne liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal und legst die Kugel zurück. Mit einem Baumdiagramm findest du alle Möglichkeiten und ihre Wahrscheinlichkeiten.
Ziehen ohne Zurücklegen
In einer Urne liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal und legst die Kugel nicht zurück. Dann ändern sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug.
Gesetz der großen Zahlen
Bei wenigen Versuchen spielt der Zufall eine große Rolle. Bei sehr vielen Versuchen liegt die relative Häufigkeit nahe bei der Wahrscheinlichkeit.
Die Vierfeldertafel
In einer Klasse sind 20 Kinder. Du betrachtest zwei Merkmale: Mädchen oder Junge? Fahrrad oder kein Fahrrad? Dafür gibt es eine übersichtliche Tabelle.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Du wählst ein Kind aus der Klasse und siehst nur: Es ist ein Mädchen. Wie wahrscheinlich hat es ein Fahrrad? Das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Die Zählregel
Wie viele Möglichkeiten gibt es? Mit einem Baumdiagramm kannst du sie zählen. Schneller geht es mit der Zählregel.
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Funktionen
Proportionale Zuordnungen
Ein Heft kostet 2 €. Was kosten 3 Hefte? Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel. So eine Zuordnung heißt proportional.
Antiproportionale Zuordnungen
Ein Kuchen hat 24 Stücke. Je mehr Kinder, desto weniger bekommt jedes Kind. So eine Zuordnung heißt antiproportional.
Lineare Funktionen Funktionen
Lineare Funktionen
Nicht jede Gerade geht durch den Nullpunkt. Für alle Geraden gibt es eine Gleichung: y = m · x + b.
Die Geradengleichung aufstellen
Du kennst zwei Punkte einer Geraden. Wie heißt ihre Gleichung? Du berechnest die Steigung und setzt einen Punkt ein.
Lineare Funktionen im Alltag
Taxi, Handy, Fahrrad leihen: Oft gibt es eine Grundgebühr und einen Preis pro Einheit. Das ist eine lineare Funktion.
Lineare Gleichungssysteme Arithmetik/Algebra
Lineare Gleichungssysteme
Zwei Zahlen ergeben zusammen 10. Ihr Unterschied ist 2. Welche Zahlen sind es? Hier gibt es zwei Unbekannte und zwei Gleichungen.
Der Schnittpunkt zweier Geraden
Zwei Geraden treffen sich in einem Punkt. Du liest ihn ab und rechnest ihn aus: mit dem Gleichsetzungsverfahren.
Terme: binomische Formeln Arithmetik/Algebra
Funktionen: Grundbegriffe Funktionen
Geometrie: Winkel und Sätze an Figuren Geometrie
Winkel an Geraden
Du lernst Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel kennen. Du misst einen Winkel und rechnest die anderen aus.
Winkelsumme im Dreieck und Viereck
Du lernst: Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180^\circ, die Winkel eines Vierecks 360^\circ. Damit berechnest du einen fehlenden Winkel.
Mittelsenkrechte und Umkreis
Du konstruierst die Mittelsenkrechte einer Strecke mit dem Zirkel. Damit findest du auch den Umkreis eines Dreiecks.
Satz des Thales
Du lernst: Liegt ein Punkt C auf dem Halbkreis über \overline{AB}, ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Du siehst den Beweis und konstruierst ein rechtwinkliges Dreieck.
Winkelhalbierende
Du lernst die Winkelhalbierende: Sie teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile. Du konstruierst sie mit dem Zirkel.
Der Inkreis
Du lernst den Inkreis: Er liegt im Dreieck und berührt alle drei Seiten. Sein Mittelpunkt liegt auf den Winkelhalbierenden.
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Du lernst die Seitenhalbierenden eines Dreiecks und den Schwerpunkt. Du berechnest den Schwerpunkt auch mit Koordinaten.
Basiswinkel und Außenwinkel
Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Ein Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.
Kreiswinkelsatz
Du lernst Zentriwinkel und Umfangswinkel kennen. Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Der Satz des Thales ist ein Sonderfall.
Tangente am Kreis
Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt. Sie steht senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt.
Kreis: Umfang und Flächeninhalt Geometrie
Quadratische Funktionen Funktionen
Die Normalparabel
Ein geworfener Ball fliegt auf einer Kurve. Diese Kurve heißt Parabel. Du lernst die einfachste Parabel, y = x², mit Wertetabelle, Scheitelpunkt und Symmetrie.
Parabeln strecken, stauchen, spiegeln
Du multiplizierst x² mit einer Zahl a. Du lernst, wie a die Parabel schmaler, breiter oder nach unten geöffnet macht.
Parabeln verschieben
Du verschiebst die Normalparabel nach oben, unten, rechts und links. Du lernst die Scheitelpunktform y = a · (x - d)² + e.
Normalform und quadratische Ergänzung
Eine Parabel hat zwei Schreibweisen: Normalform und Scheitelpunktform. Du lernst, wie du von der einen zur anderen kommst.
Nullstellen und die pq-Formel
Eine Nullstelle ist ein Punkt auf der x-Achse. Du berechnest sie durch Wurzelziehen und mit der pq-Formel und weißt, wann es keine gibt.
Die faktorisierte Form
Manchmal steht eine Parabel als Produkt da: y = (x-2)·(x+4). Das ist die faktorisierte Form. Du liest die Nullstellen direkt ab.
Extremwerte: Minimum und Maximum
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Du liest Minimum und Maximum ab.
Anwendung: Der Wurf
Du wirfst einen Ball nach oben. Seine Höhe in Metern ist h(t) = -5t² + 10t + 2. Wie hoch fliegt er, und wann landet er?
Extremwertaufgabe: Das Beet am Zaun
Du hast 24 m Zaun für ein Beet an der Hauswand. Wie breit muss das Beet sein, damit die Fläche möglichst groß wird?
Scheitelpunktform mit Faktor a
In y = a·(x - d)² + e kann a jede Zahl außer 0 sein. Du liest Scheitelpunkt, Öffnung und Form ab, zeichnest vom Scheitelpunkt aus und stellst die Gleichung aus einem Graphen auf.
Quadratische Ergänzung mit Faktor a
Steht vor dem x² eine Zahl a ≠ 1, klammerst du sie zuerst aus. Dann ergänzt du wie gewohnt und findest den Scheitelpunkt.
Satz von Vieta
Bei x² + px + q = 0 hängen die Lösungen eng mit p und q zusammen. So kannst du Lösungen raten und Gleichungen aufstellen.
Exponentialfunktionen Funktionen
Der Graph der Exponentialfunktion
Bakterien teilen sich jede Stunde in zwei: Immer mal 2. Das ist exponentielles Wachstum. Du zeichnest den Graphen von y = 2^(x) und vergleichst verschiedene Basen.
Startwert und Wachstumsfaktor
Du multiplizierst die Exponentialfunktion mit einer Zahl a. Du lernst Startwert und Wachstumsfaktor, Wachstum und Zerfall und wie du die Gleichung aus zwei Punkten aufstellst.
Verdopplung und Halbwertszeit
Manche Dinge verdoppeln sich regelmäßig, andere halbieren sich. Du lernst die Funktion y = a · b^(t/T) mit Verdopplungszeit und Halbwertszeit.
Exponentialgleichungen lösen
Jetzt fragst du umgekehrt: Für welches x hat y einen bestimmten Wert? Du löst Gleichungen wie 2^(x) = 20 durch Probieren, mit gleicher Basis und mit dem Logarithmus.
Linear, quadratisch oder exponentiell?
Du kennst drei Arten von Funktionen. Du lernst, an einer Wertetabelle zu erkennen, welche Art vorliegt: gleicher Unterschied, gleicher Faktor oder x².
Trigonometrische Funktionen Funktionen
Das Bogenmaß
Winkel misst du bisher in Grad. Es gibt ein zweites Maß: das Bogenmaß. Du misst den Winkel als Länge am Rand eines Kreises mit Radius 1.
Neugrad (Gon)
Es gibt ein drittes Winkelmaß: das Neugrad, auch Gon genannt. Du lernst, wie viele Gon ein Kreis hat und wie du zwischen Gon, Grad und Bogenmaß umrechnest.
Die Sinusfunktion
Ein Punkt wandert auf dem Einheitskreis. Seine Höhe heißt Sinus. Trägst du die Höhe über dem Winkel ein, entsteht eine Welle: der Graph der Sinusfunktion.
Die Kosinusfunktion
Am Einheitskreis hat der Punkt P eine Höhe und eine Breite. Die Höhe ist der Sinus, die Breite ist der Kosinus. Du lernst den Graphen und den Zusammenhang mit dem Sinus.
Die Tangensfunktion
Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus und Kosinus. Am Einheitskreis ist er die Steigung einer Geraden. Du lernst den Graphen mit den senkrechten Asymptoten.
Potenzen Arithmetik/Algebra
Was sind Potenzen?
Wie oft kannst du ein Blatt Papier falten? Du lernst eine kurze Schreibweise für lange Malaufgaben: die Potenz mit Basis und Exponent.
Potenzgesetze
Mit den Potenzgesetzen schreibst du Rechnungen kürzer: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren und dividieren, eine Potenz in Klammern potenzieren, Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren.
Exponent null und negative Exponenten
Was ist 2⁰? Was ist 2⁻³? Die Potenzgesetze sollen weiter gelten. So finden wir heraus: a⁰ = 1 und a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Die wissenschaftliche Schreibweise
Die Erde wiegt etwa 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg – eine Zahl mit 25 Stellen. Kurz: 5,97 · 10²⁴ kg. So schreibt man sehr große und sehr kleine Zahlen.
Das fünfte Potenzgesetz
Potenzen mit gleichem Exponenten teilen: Wir teilen die Basen, der Exponent bleibt. aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Rückwärts gilt: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
Negative Basis und Rechenreihenfolge
Bei negativer Basis entscheidet der Exponent über das Vorzeichen: gerade → positiv, ungerade → negativ. Und: (-2)⁴ = 16, aber -2⁴ = -16. Zum Schluss: Klammer, Potenz, Punkt, Strich.
Einheitenvorsätze
Kilo, Mega, Milli, Nano: Jeder Vorsatz ist eine Zehnerpotenz. 1 km = 10³ m, 1 mm = 10⁻³ m.
Wurzeln und irrationale Zahlen Arithmetik/Algebra
Wurzeln
Wir machen das Potenzieren rückgängig: das Wurzelziehen. Du lernst die Schreibweise mit Wurzelzeichen, Radikand und Wurzelexponent – von der Quadratwurzel bis zur n-ten Wurzel.
Die Wurzel aus 2 ist irrational
Die Diagonale im Quadrat mit der Seite 1 ist √2. Diese Zahl kann man nicht als Bruch schreiben: Sie ist irrational. Dazu ein Blick in die Geschichte – von Babylon bis zu den Pythagoreern.
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln mal nehmen heißt Radikanden mal nehmen: √a · √b = √(a · b). Und eine Wurzel kann man als Potenz schreiben: √a = a^(1/2).
Wurzeln teilen und vereinfachen
Wurzeln teilen heißt Radikanden teilen: √a : √b = √(a : b). Und mit einer Quadratzahl wird eine Wurzel einfacher: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
Das Heron-Verfahren
Wurzeln ohne Taschenrechner: Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat. Die Formel: xₙₑᵤ = (x + a/x) : 2.
Satz des Pythagoras Geometrie
Exponentielles Wachstum und Logarithmus Funktionen, Arithmetik/Algebra
Exponentielles Wachstum
Immer mal dieselbe Zahl: y = a · qⁿ. Vom Schachbrett mit Weizenkörnern bis zum Zinseszins.
Der Logarithmus
Zwei hoch wie viel ist acht? Der Logarithmus sucht den Exponenten: log₂ 8 = 3, denn 2³ = 8.
Geometrie: Sätze am rechtwinkligen Dreieck Geometrie
Kathetensatz
Du lernst den Kathetensatz: Das Quadrat über einer Kathete ist so groß wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem Abschnitt daneben.
Höhensatz
Du lernst den Höhensatz: Das Quadrat über der Höhe ist so groß wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
Geometrie: Ähnlichkeit und Strahlensätze Geometrie
Zentrische Streckung
Du lernst, wie man eine Figur mit einer zentrischen Streckung vergrößert oder verkleinert. Die Form bleibt gleich.
Strahlensätze
Du lernst die Strahlensätze: Mit zwei Strahlen und zwei Parallelen rechnest du Längen aus, zum Beispiel die Höhe eines Baumes.
Ähnliche Figuren
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe. Alle Seiten werden mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert.
Trigonometrie Geometrie
Sinus, Kosinus und Tangens
Du lernst Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Damit hängen Winkel und Seitenlängen zusammen.
Seiten und Winkel berechnen
Du berechnest Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens.
Sinussatz
Du lernst den Sinussatz. Er gilt in jedem Dreieck, auch ohne rechten Winkel.
Kosinussatz
Du lernst den Kosinussatz. Er gilt in jedem Dreieck und ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.
Informatik
Projektkurs Autonomes Fahren Informatiksysteme
Naturwissenschaften
Wasser Naturwissenschaftliche Arbeitsweisen
Wasser mischen: Was ist eine wissenschaftliche Aussage?
Gießt man warmes und kaltes Wasser zusammen, wie warm wird das Gemisch? In dieser Doppelstunde sagen die Schüler:innen die Temperatur vorher, messen nach und lernen dabei, was eine Aussage wissenschaftlich macht: Man kann sie prüfen und widerlegen. Erste Stunde der Reihe „Wasser“.
Heizen: Wird Wasser immer heißer?
Wird Wasser immer heißer, solange man heizt? In dieser Doppelstunde nehmen die Schüler:innen die Temperaturkurve von Eiswasser bis zum Sieden selbst auf, entdecken zwei waagerechte Stücke und deuten sie mit dem Teilchenmodell. Zweite Stunde der Reihe „Wasser“.
Sand und Wasser: Wer wird schneller warm?
Warum ist der Sand am Strand heiß, wenn das Wasser noch kühl ist? In dieser Doppelstunde erwärmen die Schüler:innen 50 g Sand und 50 g Wasser unter derselben Lampe, messen jede Minute und finden heraus: Bei gleicher Energie wird Sand viel schneller warm. Dritte Stunde der Reihe „Wasser“.
Tutorials
GeoGebra A: Einstieg GeoGebra
GeoGebra: Die Oberfläche
Werkzeuge, Zeichenblatt, Punkte setzen und verschieben, rückgängig machen, zoomen – und Achsen und Gitter einschalten.
GeoGebra: Gestalten
Farben, gestrichelte Hilfslinien, Längen anzeigen und Objekte ausblenden.
GeoGebra: Messen
Längen, Winkel und Flächen messen – und zusehen, wie sich alle Werte beim Ziehen ändern.
GeoGebra: Punkte und Koordinaten
Punkte genau an ihre Koordinaten setzen: erst nach rechts, dann nach oben. Koordinaten wie im Heft anzeigen und Punkte eintippen.
GeoGebra: Speichern und teilen
Die Zeichnung als.ggb-Datei speichern und wieder öffnen, ein Bild exportieren – und was beim Teilen zu beachten ist.
GeoGebra: Spiegeln und Verschieben
Ein Dreieck an einer Geraden spiegeln und mit einem Vektor verschieben. Das Bild folgt dem Original.
GeoGebra: Strecken, Geraden, Vielecke
Punkte verbinden: zur Strecke, zur Geraden und zum Vieleck. Beim Ziehen hängt alles mit.
GeoGebra: Was ist GeoGebra?
GeoGebra ist ein kostenloses Mathematik-Programm. Du lernst die Rechner-Suite kennen und wechselst zum Geometrie-Rechner.
GeoGebra B: Konstruieren GeoGebra
GeoGebra: Der Zugtest
Zwei Quadrate sehen gleich aus – der Zugtest zeigt, welches wirklich konstruiert ist.
GeoGebra: Dreiecke konstruieren
Dreiecke aus drei Seiten (SSS) und aus einer Seite und zwei Winkeln (WSW) konstruieren.
GeoGebra: Erste Schieberegler
Zahlen zum Ziehen: Ein Kreis wächst mit dem Regler, aus einem Dreieck wird ein Zehneck.
GeoGebra: Kreise
Drei Wege zum Kreis: Mittelpunkt und Punkt, fester Radius, Zirkel – und was beim Ziehen fest bleibt.
GeoGebra: Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Konstruieren und durch Ziehen prüfen: Punkte auf der Mittelsenkrechten sind von A und B gleich weit entfernt.
GeoGebra: Umkreis und Inkreis
Umkreis mit Mittelsenkrechten, Inkreis mit Winkelhalbierenden – und wo ihre Mittelpunkte liegen können.
GeoGebra C: Funktionen GeoGebra
GeoGebra: Funktionen eingeben
Der Grafikrechner: Funktionen eintippen und eine Wertetabelle anzeigen.
GeoGebra: Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem als Schnittpunkt zweier Geraden – und wann es keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
GeoGebra: Lineare Funktionen
Regler für m und b entstehen von selbst. Du siehst, was Steigung und y-Achsenabschnitt bewirken.
GeoGebra: Besondere Punkte
Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkte mit einem Tipp auf den Graphen finden.
GeoGebra: Quadratische Funktionen
Die Scheitelpunktform mit Reglern für a, d und c: verschieben, strecken, spiegeln.
GeoGebra: Regression
Messwerte in eine Tabelle eintippen und die passende Funktion finden lassen.
Geräte der Physiksammlung Experimentieren
Die Leuchtbox
In der Leuchtbox steckt eine helle Lampe. Mit ihr machst du Versuche mit Licht: mit Spiegeln, Linsen und Farben. Hier lernst du, wo paralleles und wo auseinanderlaufendes Licht herauskommt und was du zur Sicherheit beachten musst.
Die Steckbausteine
Mit den Steckbausteinen baust du Stromkreise auf dem Tisch. Jeder Baustein ist ein Stück Leitung, eine Lampe oder ein Schalter. Hier lernst du, wie man sie zusammensteckt und worauf du achten musst.
Das Netzgerät
Das Netzgerät liefert die Energie für deine Stromkreise. Mit dem Drehknopf stellst du ein, wie stark es den Strom antreibt – die Zahl dazu ist die Spannung in Volt. Hier lernst du die Buchsen, die beiden Skalen und die Regeln zum Einschalten und Umbauen kennen.
Der Stromsensor
Der Stromsensor misst die Stromstärke. Er hat keine eigene Anzeige, seine Werte schickt er per Bluetooth an eine App auf dem Tablet. Hier lernst du, wie er in den Stromkreis kommt – und wie nicht.
Der Spannungssensor
Der Spannungssensor misst die Spannung. Wie der Stromsensor schickt er seine Werte per Bluetooth an eine App auf dem Tablet. Er wird aber ganz anders angeschlossen: parallel, und der Kreis bleibt zu.
GeoGebra D: Körper GeoGebra
GeoGebra: Der 3D-Rechner
Achsen im Raum, Ansicht drehen, einen Würfel bauen und sein Volumen messen.
GeoGebra: Netze
Würfel und Pyramide zum Netz aufklappen und wieder zu.
GeoGebra: Zylinder und Kegel
Zylinder und Kegel mit gleichem Radius und gleicher Höhe – das Verhältnis der Volumen bleibt immer 3.
GeoGebra E: Oberstufe GeoGebra
GeoGebra: Ableitung
Die Ableitung zeichnen lassen und mit einer Tangente sehen, was sie bedeutet.
GeoGebra: CAS
Das Computer-Algebra-System: genau rechnen, Gleichungen lösen, faktorisieren, mit Parametern.
GeoGebra: Funktionenscharen
Eine Schar mit Parameter k und die Ortskurve ihrer Hochpunkte.
GeoGebra: Integral
Flächen unter Graphen: Grenzen ziehen, Unter- und Obersumme nähern sich dem Integral.
GeoGebra: Vektoren, Geraden, Ebenen
Analytische Geometrie im 3D-Rechner: Parameterform, Ebenengleichung, Durchstoßpunkt.
GeoGebra: Wahrscheinlichkeit
Binomial- und Normalverteilung mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner.
Facharbeit schreiben Textverarbeitung
Facharbeit: Aufbau
Eine Facharbeit hat feste Teile in fester Reihenfolge: vom Deckblatt über Einleitung, Hauptteil und Fazit bis zum Literaturverzeichnis und der Selbstständigkeitserklärung. Hier lernst du sie kennen – und wie man Kapitel richtig gliedert.
Facharbeit: Seite einrichten
Bevor du an deiner Facharbeit schreibst, richtest du die Seiten einmal richtig ein: Ränder, Schrift, Zeilenabstand und Blocksatz. Wenn du das in der Absatzvorlage machst statt am markierten Text, gilt es für die ganze Arbeit – auch für alles, was du später noch schreibst.
Facharbeit: Überschriften
Eine Überschrift ist erst dann eine Überschrift, wenn das Programm sie als solche kennt. Mit den Vorlagen Überschrift 1 und Überschrift 2 und der automatischen Kapitelnummerierung entstehen Gliederung und später das Inhaltsverzeichnis von allein.
Facharbeit: Silbentrennung und Typografie
Blocksatz ohne Löcher, Abkürzungen und Zahlen, die nicht auseinandergerissen werden, richtige Striche und deutsche Anführungszeichen: So sieht deine Facharbeit sauber aus. Das meiste stellst du einmal ein, den Rest erledigt die Autokorrektur.
Facharbeit: Seitenzahlen
Das Deckblatt zählt als Seite 1, zeigt aber keine Zahl; ab der zweiten Seite steht die Nummer unten in der Mitte. Dafür brauchst du Seitenumbrüche, eine Seitennummer als Feld und eine Titelseite.
Facharbeit: Inhaltsverzeichnis
Das Inhaltsverzeichnis entsteht automatisch aus den Überschriften – mit Nummern, Punktlinien und Seitenzahlen. Du musst es nur aktualisieren, wenn sich etwas ändert, spätestens vor der Abgabe.
Facharbeit: Tabellen und Abbildungen
Tabellen und Abbildungen bekommen eine nummerierte Beschriftung mit Quelle, und im Text wird jede erwähnt – per Querverweis, damit die Nummern immer stimmen.
Facharbeit: Formeln
Formeln gehören nicht als Text in die Arbeit. Wichtige Formeln stehen mittig in einer eigenen Zeile, mit einer Nummer am rechten Rand – dann kannst du im Text auf „Gleichung (1)“ verweisen.
Facharbeit: Richtig zitieren
Jeder fremde Gedanke bekommt einen Beleg. Hier geht es um die Regeln: zwei Zitierweisen, direktes und indirektes Zitat, das Literaturverzeichnis – und was überhaupt zitierfähig ist.
Facharbeit: Zitieren im Programm
Blockzitat, Fußnote und Literaturverzeichnis mit hängendem Einzug: So setzt du die Zitierregeln in der Textverarbeitung um.
Facharbeit: Abgabe
Zum Schluss: alles aktualisieren, Rechtschreibung prüfen, die Checkliste durchgehen und ein PDF erzeugen – mit Lesezeichen und eingebetteten Schriften.
Facharbeit schreiben mit LaTeX Textsatz
Was ist LaTeX?
LaTeX setzt Texte mit Befehlen statt Mausklicks: Du schreibst reinen Text, ein Programm macht daraus ein PDF in Buchqualität. Hier erfährst du, woher LaTeX kommt, wie es funktioniert und warum es sich gerade für eine Facharbeit lohnt – trotz steiler Lernkurve.
LaTeX einrichten
Für LaTeX brauchst du zwei Bausteine: eine Distribution (Compiler und Pakete) und einen Editor. Hier siehst du, was du unter Linux, Windows, macOS und auf dem iPad installierst, welche Editoren es gibt – und du erzeugst dein erstes PDF.
LaTeX: Seite einrichten
Papierformat, Ränder, Schrift und Zeilenabstand stehen in LaTeX an einer einzigen Stelle: in der Präambel am Anfang der Datei. Sieben Zeilen richten die Seite für die ganze Arbeit ein.
LaTeX: Gliederung
Überschriften sind in LaTeX Befehle: \section für Kapitel, \subsection für Unterkapitel. Die Nummern vergibt LaTeX selbst – die Grundlage für das Inhaltsverzeichnis.
LaTeX: Deutsch und Typografie
Deutsche Anführungszeichen, der richtige Strich und Leerzeichen, an denen keine Zeile umbricht: Kleinigkeiten, an denen man sofort sieht, ob jemand sorgfältig gearbeitet hat.
LaTeX: Deckblatt und Seitenzahlen
Für das Deckblatt trägst du nur die Angaben ein, LaTeX ordnet sie an. Seitenzahlen setzt KOMA-Script von selbst – das Deckblatt zählt mit, zeigt aber keine Zahl.
LaTeX: Inhaltsverzeichnis
Ein Befehl, \tableofcontents, erzeugt das ganze Verzeichnis mit Nummern und Seitenzahlen. Wichtig ist nur: Nach Änderungen zweimal kompilieren.
LaTeX: Tabellen und Abbildungen
Tabellen und Abbildungen bekommen eine nummerierte Beschriftung mit Quelle – bei Tabellen oben, bei Abbildungen unten. Im Text verweist du auf ihre Nummer, nie auf „die folgende Abbildung“.
LaTeX: Formeln
Für Formeln wurde TeX erfunden. Variablen im Text, abgesetzte Formeln mit Nummer und Verweise darauf – so sehen die Formeln der Facharbeit aus wie in einem Fachbuch.
LaTeX: Zitieren
Die Quellen stehen in einer eigenen Datei, im Text belegst du mit einem Befehl, und das Literaturverzeichnis baut LaTeX selbst – genau aus den Quellen, die du wirklich zitierst.
LaTeX: Abgabe
Vor der Abgabe prüfst du die Arbeit und machst das PDF fertig: keine Warnungen mehr, Lesezeichen in der Seitenleiste, klickbare Verweise und Titel und Autor in den Eigenschaften des PDFs.
LaTeX: Zeichnen mit TikZ
Im Zusatzteil zeichnest du den Versuchsaufbau direkt im Quelltext, mit dem Paket TikZ. Die Zeichnung bleibt in jeder Größe scharf und nutzt dieselbe Schrift wie Text und Formeln.
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