Das Heron-Verfahren

Wurzeln ohne Taschenrechner: Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat. Die Formel: \( x_{\text{neu}} = \left(x + \frac{a}{x}\right) : 2 \).

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Das Video

Achte auf die Farben: Jedes neue Rechteck hat eine eigene Farbe. Das Ziel-Quadrat ist grün gestrichelt.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Wir suchen ein Quadrat mit Fläche \( 2 \). Start: Rechteck \( 2 \cdot 1 \). Neue Seite: Mittelwert \( (2 + 1) : 2 = 1{,}5 \), andere Seite \( 2 : 1{,}5 \approx 1{,}333 \).

Nach drei Schritten: 1{,}414216 – fast genau \sqrt{2} = 1{,}414213\ldots — Nach drei Schritten: \( 1{,}414216 \) – fast genau \( \sqrt{2} = 1{,}414213\ldots \)

Heron-Verfahren

\( x_{\text{neu}} = \left(x + \frac{a}{x}\right) : 2 \). Starte mit einer Zahl, die ungefähr passt. Beispiel \( \sqrt{10} \): Start \( 3 \), nach zwei Schritten \( 3{,}16228 \).

Die Formel: der Mittelwert von x und a/x . — Die Formel: der Mittelwert von \( x \) und \( \frac{a}{x} \).

Geschichte (nach Wikipedia): Heron von Alexandria beschrieb das Verfahren um 100 n. Chr. In Mesopotamien war es schon zur Zeit Hammurapis (um 1750 v. Chr.) bekannt.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Mache einen Schritt: a) \( \sqrt{5} \), Start \( x_0 = 2 \) b) \( \sqrt{17} \), Start \( x_0 = 4 \) c) \( \sqrt{3} \), Start \( x_0 = 2 \)

Lösung anzeigen

a) \( (2 + 2{,}5) : 2 = 2{,}25 \) b) \( (4 + 4{,}25) : 2 = 4{,}125 \) c) \( (2 + 1{,}5) : 2 = 1{,}75 \)

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: das Heron-Verfahren (Wurzeln näherungsweise berechnen mit x neu = (x + a durch x) geteilt durch 2). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.