Quadratische Ergänzung mit Faktor a

Steht vor dem \(x^2\) eine Zahl \(a \neq 1\), klammerst du sie zuerst aus. Dann ergänzt du wie gewohnt und findest den Scheitelpunkt.

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Das Video

Im Video bringen wir \(y = 2x^2 - 8x + 5\) und \(y = -x^2 + 6x - 5\) in die Scheitelpunktform.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Die Schritte

\(y = 2x^2 - 8x + 5\). 1. Nur aus den \(x\)-Gliedern ausklammern: \(2\cdot(x^2 - 4x) + 5\). 2. Ergänzen: \(2\cdot(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5\). 3. Zusammenfassen: \(2\cdot(x-2)^2 - 8 + 5 = 2\cdot(x-2)^2 - 3\). Also \(S(2\,|\,-3)\).

Die Umformung Schritt für Schritt und der Graph.

Negatives \(a\): \(y = -x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x-3)^2 + 4\), also \(S(3\,|\,4)\), nach unten geöffnet.

Mit a = -1 ausklammern. — Mit \(a = -1\) ausklammern.

Achtung: Die abgezogene Zahl musst du mit \(a\) malnehmen. Probe mit \(x = 0\): Normalform und Scheitelpunktform geben denselben Wert.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Bringe \(y = 0{,}5x^2 + 2x - 1\) in die Scheitelpunktform.

Lösung anzeigen

\(y = 0{,}5\cdot(x^2 + 4x) - 1 = 0{,}5\cdot(x+2)^2 - 3\), \(S(-2\,|\,-3)\). Probe \(x = 0\): \(0{,}5\cdot 4 - 3 = -1\).

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: quadratische Ergänzung mit Faktor a ≠ 1 (ausklammern, ergänzen, Scheitelpunkt). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.