Verdopplung und Halbwertszeit

Manche Dinge verdoppeln sich regelmäßig, andere halbieren sich. Du lernst die Funktion \(y = a \cdot b^{t/T}\) mit Verdopplungszeit und Halbwertszeit.

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Das Video

Im Video halbiert sich ein Medikament alle vier Stunden. Du siehst Tabelle, Graph und Funktion.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Halbwertszeit

Ein Medikament: \(80\) mg, alle \(4\) Stunden halb so viel: \(80, 40, 20, 10\). Die Zeit, in der sich die Menge halbiert, heißt Halbwertszeit.

Tabelle: alle 4 Stunden mal 1/2. — Tabelle: alle \(4\) Stunden mal \(\frac{1}{2}\).

Die Funktion

\(y = 80 \cdot 0{,}5^{t/4}\). Der Exponent \(t/4\) zählt die Halbwertszeiten. Für \(t = 8\) ist er \(2\): \(80 \cdot 0{,}5^2 = 20\).

Der Graph von y = 80 · 0{,}5^{t/4}. — Der Graph von \(y = 80 \cdot 0{,}5^{t/4}\).

Verdopplungszeit: \(100\) Bakterien, alle \(3\) Stunden mal \(2\): \(y = 100 \cdot 2^{t/3}\). Für \(t = 6\): \(100 \cdot 4 = 400\).

Allgemein

\(y = a \cdot b^{t/T}\): \(a\) ist der Startwert, \(T\) die Zeit für einen Schritt. \(b = 2\): Verdopplung, \(b = \frac{1}{2}\): Halbwertszeit. Koffein: \(100\) mg, \(T = 5\) h, nach \(10\) h: \(25\) mg.

Nach zwei Halbwertszeiten ist noch ein Viertel übrig.

Achtung: Nach zwei Halbwertszeiten ist nicht alles weg, sondern noch ein Viertel. Die Menge wird nie ganz null.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Ein Stoff wiegt \(200\) g, die Halbwertszeit beträgt \(3\) Tage. Wie viel Gramm sind nach \(9\) Tagen übrig?

Lösung anzeigen

\(9 : 3 = 3\) Halbwertszeiten. \(200 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 25\) g.

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Verdopplungszeit und Halbwertszeit (Funktion y = a·b^(t/T)). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

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