Nullstellen und die pq-Formel

Eine Nullstelle ist ein Punkt auf der \(x\)-Achse. Du berechnest sie durch Wurzelziehen und mit der pq-Formel und weißt, wann es keine gibt.

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Das Video

Im Video siehst du die Nullstellen als Punkte auf der \(x\)-Achse. Die Rechnung steht Schritt für Schritt daneben.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Nullstellen

Eine Nullstelle ist ein Punkt auf der \(x\)-Achse: Dort ist \(y = 0\). Eine Parabel hat zwei, eine oder keine Nullstelle.

Wurzel ziehen

\(x^2 - 4 = 0\) \(\to\) \(x^2 = 4\) \(\to\) \(x = 2\) oder \(x = -2\). In der Scheitelpunktform: \((x - 1)^2 - 4 = 0\) \(\to\) \(x - 1 = \pm 2\) \(\to\) \(x = 3\) oder \(x = -1\).

x^2 - 4 = 0 hat die Nullstellen -2 und 2. — \(x^2 - 4 = 0\) hat die Nullstellen \(-2\) und \(2\).

(x - 1)^2 - 4 = 0 hat die Nullstellen -1 und 3. — \((x - 1)^2 - 4 = 0\) hat die Nullstellen \(-1\) und \(3\).

pq-Formel

\(x^2 + px + q = 0\) hat die Lösungen \(x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\). Beispiel \(x^2 - 2x - 3 = 0\): \(p = -2\), \(q = -3\); \(-\frac{p}{2} = 1\); \(\sqrt{1 + 3} = 2\). Also \(x = 3\) oder \(x = -1\).

Diskriminante \(\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\): positiv \(\to\) zwei Nullstellen, null \(\to\) eine, negativ \(\to\) keine. Beispiel \(x^2 + 2x + 5\): \(1 - 5 = -4\), also keine Nullstelle. Achtung: Bei \(p = -2\) ist \(-\frac{p}{2} = +1\), nicht \(-1\).

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Berechne die Nullstellen von \(y = x^2 + 2x - 8\).

Lösung anzeigen

\(p = 2\), \(q = -8\): \(x = -1 \pm \sqrt{1 + 8} = -1 \pm 3\), also \(x = 2\) oder \(x = -4\).

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Nullstellen quadratischer Funktionen (Wurzelziehen, pq-Formel, Diskriminante). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.