Kreiswinkelsatz

Du lernst Zentriwinkel und Umfangswinkel kennen. Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Der Satz des Thales ist ein Sonderfall.

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Das Video

Im Video wandert ein Punkt \(P\) auf dem Kreis. Der Umfangswinkel bleibt gleich. Danach folgt der Beweis mit zwei gleichschenkligen Dreiecken.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Zentriwinkel und Umfangswinkel

Der Winkel \(\angle AMB\) am Mittelpunkt heißt Zentriwinkel, der Winkel \(\angle APB\) am Rand heißt Umfangswinkel.

Der Umfangswinkel bleibt 40^\circ, wenn P auf dem Kreis wandert. — Der Umfangswinkel bleibt \(40^\circ\), wenn \(P\) auf dem Kreis wandert.

Kreiswinkelsatz

Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel (über derselben Sehne, \(P\) auf dem langen Bogen). Bei einem Durchmesser: \(180^\circ = 2 \cdot 90^\circ\) (Satz des Thales).

Beweis: 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ und 360^\circ - 140^\circ - 140^\circ = 80^\circ. — Beweis: \(20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\) und \(360^\circ - 140^\circ - 140^\circ = 80^\circ\).

Fehler: P liegt auf dem anderen Bogen. Dort ist der Umfangswinkel 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ. — Fehler: \(P\) liegt auf dem anderen Bogen. Dort ist der Umfangswinkel \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Der Zentriwinkel \(\angle AMB\) ist \(70^\circ\). Wie groß ist der Umfangswinkel \(\angle APB\) (\(P\) auf dem langen Bogen)?

Lösung anzeigen

\(70^\circ : 2 = 35^\circ\)

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Kreiswinkelsatz (Zentriwinkel, Umfangswinkel, Sehne, Satz des Thales als Sonderfall). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.