Rechnen mit Wurzeln

Wurzeln mal nehmen heißt Radikanden mal nehmen: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). Und eine Wurzel kann man als Potenz schreiben: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).

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Das Video

Achte auf die Farben: Der Radikand ist lila, der Exponent ist orange.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

\( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \) und \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Begründung mit dem 4. Potenzgesetz: (\sqrt{a} · \sqrt{b})^2 = a · b . — Begründung mit dem 4. Potenzgesetz: \( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b \).

Wurzeln mal nehmen

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) (für \( a, b \geq 0 \)). Wurzeln mal nehmen heißt Radikanden mal nehmen. Achtung: Das gilt nicht beim Plus: \( \sqrt{9 + 16} = 5 \), aber \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \).

Zwei irrationale Zahlen: \sqrt{12} · \sqrt{108} = \sqrt{4 · 36 · 9} = 2 · 6 · 3 = 36 . — Zwei irrationale Zahlen: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 36 \cdot 9} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \).

Wurzeln vereinfachen: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \).

Herleitung: (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 , also 2x = 1 und x = 1/2 . — Herleitung: \( (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 \), also \( 2x = 1 \) und \( x = \frac{1}{2} \).

Die Wurzel als Potenz

\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \), allgemein \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \). Beispiele: \( 4^{\frac{1}{2}} = 2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \).

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Berechne: a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \) b) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \) c) \( 9^{\frac{1}{2}} \) d) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

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a) \( 4 \) b) \( 9 \) c) \( 3 \) d) \( 3 \)

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Rechnen mit Wurzeln (Wurzel a mal Wurzel b = Wurzel aus a mal b, Wurzel als Potenz mit Bruch im Exponenten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.