Die Tangensfunktion

Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus und Kosinus. Am Einheitskreis ist er die Steigung einer Geraden. Du lernst den Graphen mit den senkrechten Asymptoten.

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Das Video

Im Video siehst du den Tangens als Höhe an der Geraden \(x = 1\). Dann entsteht der Graph mit seinen Ästen.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Tangens

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). Am Einheitskreis ist das die Steigung der Geraden durch den Nullpunkt und \(P\). Bei \(45^\circ\) sind Sinus und Kosinus gleich, also \(\tan 45^\circ = 1\).

Die Gerade \(x = 1\)

Der Strahl durch \(P\) trifft die Gerade \(x = 1\) in der Höhe \(\tan\alpha\). \(\tan 30^\circ \approx 0{,}58\), \(\tan 60^\circ \approx 1{,}73\). Nähert sich \(\alpha\) dem Wert \(90^\circ\), wird die Höhe beliebig groß.

Der Tangens als Höhe an der Geraden x = 1. — Der Tangens als Höhe an der Geraden \(x = 1\).

Der Graph

Der Graph geht durch den Nullpunkt und steigt. Bei \(\frac{\pi}{2}\) ist \(\cos x = 0\), dort gibt es keinen Wert: senkrechte Asymptote. Danach beginnt ein neuer Ast von unten.

Eigenschaften

Periode \(\pi\). Nullstellen \(k \cdot \pi\). Keine Werte bei \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Wertebereich: alle reellen Zahlen. \(\tan\frac{\pi}{4} = 1\).

Achtung: \(\tan 90^\circ\) gibt es nicht: \(\cos 90^\circ = 0\), und durch null darf man nicht teilen. GeoGebra zeigt ein Fragezeichen.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Berechne \(\tan\frac{\pi}{4}\) und \(\tan 0\). Für welche \(x\) zwischen \(-\pi\) und \(\pi\) gibt es keinen Tangens?

Lösung anzeigen

\(\tan\frac{\pi}{4} = 1\). \(\tan 0 = 0\). Keinen Tangens gibt es bei \(-\frac{\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2}\).

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die Tangensfunktion (Tangens = Sinus durch Kosinus, Graph, Asymptoten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.