Das Volumen der Kugel

Warum füllt eine Kugel zwei Drittel des Zylinders? Mit dem Prinzip von Cavalieri und einem Trick von Archimedes findest du die Formel.

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Das Video

Im Video werden eine Halbkugel und ein Zylinder ohne Kegel in jeder Höhe durchgeschnitten.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Das Prinzip von Cavalieri

Sind zwei Körper in jeder Höhe gleich groß geschnitten, dann haben sie dasselbe Volumen. Beispiel: ein gerader und ein schiefer Stapel aus gleichen Münzen.

Halbkugel und Zylinder ohne Kegel

Schnitt in der Höhe \(h\): links ein Kreis \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), rechts ein Ring \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Gleich groß! Also: \(V_\text{Halbkugel} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) und \(V_\text{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

Archimedes (um 287–212 v. Chr., Syrakus) zeigte: Kugel und Zylinder stehen im Verhältnis \(2 : 3\). Laut Plutarch wünschte er sich Kugel und Zylinder auf seinem Grab; Cicero berichtet, er habe das Grab 75 v. Chr. gefunden.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Rechne mit \(\pi \approx 3{,}14\). Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit a) \(r = 3\) cm b) \(r = 10\) cm?

Lösung anzeigen

a) \(113{,}04\text{ cm}^3\) b) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.