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Exponent null und negative Exponenten

Was ist \( 2^0 \)? Was ist \( 2^{-3} \)? Die Potenzgesetze sollen weiter gelten. So finden wir heraus: \( a^0 = 1 \) und \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
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Das Video

Achte auf die Farben: Die Basis ist blau, der Exponent ist orange.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Inhalt des Videos

  1. 0:00 Einstieg
  2. 0:21 Exponent null
  3. 0:59 Die Regel für null
  4. 1:34 Negative Exponenten
  5. 2:20 Ein Muster
  6. 2:48 Die Regel für Minus
  7. 3:20 Nicht negativ!
  8. 3:37 Ausblick
  9. 3:53 Probier es selbst

Das Wichtigste

Die Zwei null-mal hinschreiben, das geht nicht. Unsere Idee: Die Potenzgesetze sollen weiter gelten. \( 2^3 = 2^{3+0} = 2^3 \cdot 2^0 \), also \( 8 = 8 \cdot 2^0 \). Mal \( 2^0 \) ändert nichts. Also ist \( 2^0 = 1 \).

Die Potenzgesetze sollen weiter gelten. So finden wir 2^0 = 1 .
Die Potenzgesetze sollen weiter gelten. So finden wir \( 2^0 = 1 \).

Exponent null

Jede Zahl hoch null ist eins: \( a^0 = 1 \) (für \( a \neq 0 \)). Probe: \( 2^3 : 2^3 = 8 : 8 = 1 \) und \( 2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 \). Achtung: \( 2^0 \) ist nicht \( 0 \) und nicht \( 2 \).

\( 2 = 2^1 = 2^{4-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 16 \cdot 2^{-3} \). Weil \( 16 \cdot \frac{1}{8} = 2 \), ist \( 2^{-3} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} \).

Wird der Exponent um eins kleiner, teilen wir durch 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.
Wird der Exponent um eins kleiner, teilen wir durch 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.

Negativer Exponent

Ein Minus im Exponenten macht aus der Potenz einen Bruch: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). Besonders wichtig: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) ist der Kehrwert von \( a \). Beispiele: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \), \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \), \( 10^{-2} = \frac{1}{100} \).

Ein negativer Exponent macht einen Bruch – keine negative Zahl: 2^{-3} = 1/8 , nicht -8 .
Ein negativer Exponent macht einen Bruch – keine negative Zahl: \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \), nicht \( -8 \).

Ausblick: Auch ein Bruch kann Exponent sein, zum Beispiel \( 4^{\frac{1}{2}} \). Das lernen wir später mit den Wurzeln.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Seite 3/6
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Seite 6/6

Probier es selbst

Aufgabe

Rechne aus: a) \( 7^0 \) b) \( 4^{-2} \) c) \( 10^{-3} \) d) \( 2^3 \cdot 2^{-3} \)

Lösung anzeigen

a) \( 1 \) b) \( \frac{1}{16} \) c) \( \frac{1}{1000} \) d) \( 2^0 = 1 \)

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponent null und negative Exponenten (a hoch 0 = 1, a hoch minus n = 1 geteilt durch a hoch n). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.