Extremwertaufgabe: Das Beet am Zaun

Du hast \(24\,\text{m}\) Zaun für ein Beet an der Hauswand. Wie breit muss das Beet sein, damit die Fläche möglichst groß wird?

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Das Video

Im Video stellen wir die Flächenfunktion auf und lesen das Maximum am Scheitelpunkt ab.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Funktion aufstellen

Breite \(x\); die beiden kurzen Seiten brauchen \(2x\) Zaun; die lange Seite ist \(24 - 2x\). Fläche: \(A(x) = x\cdot(24 - 2x) = -2x^2 + 24x\). Wegen \(a < 0\) gibt es ein Maximum.

Skizze: Breite x, Breite x, lange Seite 24 - 2x. — Skizze: Breite \(x\), Breite \(x\), lange Seite \(24 - 2x\).

Maximum berechnen

\(A(x) = -2(x-6)^2 + 72\), \(S(6\,|\,72)\). Breite \(6\,\text{m}\), Länge \(24 - 12 = 12\,\text{m}\), Fläche \(72\,\text{m}^2\).

Der höchste Punkt des Graphen ist S(6\,|\,72). Bei x = 0 und x = 12 gibt es keine Fläche. — Der höchste Punkt des Graphen ist \(S(6\,|\,72)\). Bei \(x = 0\) und \(x = 12\) gibt es keine Fläche.

Achtung: Die lange Seite ist nicht \(24 - x\), denn die Breite \(x\) kommt zweimal vor. Probe: \(x + x + (24 - 2x) = 24\).

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen

Probier es selbst

Aufgabe

Du hast \(40\,\text{m}\) Zaun für ein Beet an der Hauswand. Wie breit muss es sein, damit die Fläche maximal ist? Wie groß ist sie?

Lösung anzeigen

\(A(x) = x(40-2x) = -2(x-10)^2 + 200\): Breite \(10\,\text{m}\), Fläche \(200\,\text{m}^2\).

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Extremwertaufgabe (Fläche maximal, Zaun an der Hauswand). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.