Die Wurzel aus 2 ist irrational

Die Diagonale im Quadrat mit der Seite 1 ist \( \sqrt{2} \). Diese Zahl kann man nicht als Bruch schreiben: Sie ist irrational. Dazu ein Blick in die Geschichte – von Babylon bis zu den Pythagoreern.

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Das Video

Achte auf die Farben: Die Diagonale und \( \sqrt{2} \) sind orange, die kleinen Quadrate sind blau.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Das Wichtigste

Vier Quadrate mit der Seite 1 bilden ein großes Quadrat mit der Fläche 4. Die vier Diagonalen bilden ein schräges Quadrat aus vier halben Quadraten – Fläche 2. Seine Seite ist die Diagonale. Also ist die Diagonale \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Das schräge Quadrat hat die Fläche 2. Seine Seite ist die Diagonale \sqrt{2} . — Das schräge Quadrat hat die Fläche 2. Seine Seite ist die Diagonale \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – fast 2, aber nie genau. Auch Brüche treffen nie genau: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Der Beweis: Wäre \sqrt{2} = p/q ganz gekürzt, dann wären p und q beide gerade – Widerspruch. — Der Beweis: Wäre \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) ganz gekürzt, dann wären \( p \) und \( q \) beide gerade – Widerspruch.

Rational und irrational

Rational: als Bruch schreibbar, z. B. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) oder \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (die 3 wiederholt sich). Irrational: kein Bruch möglich, die Stellen hören nie auf und wiederholen sich nie, z. B. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Ist eine natürliche Zahl keine Quadratzahl, dann ist ihre Wurzel irrational.

Babylon (etwa 1700 v. Chr.): Tontafel mit \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Griechenland (etwa 500 v. Chr.): Pythagoreer und Hippasos. — Babylon (etwa 1700 v. Chr.): Tontafel mit \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Griechenland (etwa 500 v. Chr.): Pythagoreer und Hippasos.

Die Pythagoreer glaubten: „Alles ist Zahl.“ Der Pythagoreer Hippasos soll entdeckt haben, dass Seite und Diagonale in kein Verhältnis ganzer Zahlen passen. Eine Legende erzählt, er habe das Geheimnis verraten und sei im Meer ertrunken. Historiker halten die Legende heute für wenig glaubhaft.

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

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Aufgabe

Rational oder irrational? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

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a) rational (5) b) irrational c) rational d) irrational

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Die Wurzel aus 2 ist irrational (Diagonale im Quadrat, rationale und irrationale Zahlen). Stelle mir nacheinander fünf kurze Fragen. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

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