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Binomische Formeln

Ein Quadrat hat die Seite 5. Was passiert mit der Fläche, wenn die Seite um 2 länger oder kürzer wird? Aus dem Bild entstehen die drei binomischen Formeln.
📄 Arbeitsblatt öffnen (PDF)

Das Video

Achte auf die Farben: \( a \) und \( a^2 \) sind blau, \( b \) und \( b^2 \) sind lila, die Streifen \( ab \) sind orange.

Untertitel gibt es in zehn Sprachen. Du wählst sie im Video unten rechts.

Inhalt des Videos

  1. 0:00 Einstieg
  2. 0:24 Plus zwei
  3. 1:03 Die erste binomische Formel
  4. 1:30 Beispiele
  5. 1:58 Minus zwei
  6. 2:38 Die zweite binomische Formel
  7. 3:03 Länger und kürzer
  8. 3:43 Die dritte binomische Formel
  9. 4:11 Alle drei Formeln
  10. 4:30 Probier es selbst

Das Wichtigste

Seite 5: Fläche \( 25 \). Seite \( 5 + 2 = 7 \): Fläche \( 7^2 = 49 \) – nicht \( 25 + 4 = 29 \)! Im Bild sieht man warum: \( 25 + 10 + 10 + 4 = 49 \). Das alte Quadrat, zwei Streifen und ein kleines Quadrat in der Ecke.

Das alte Quadrat (25), zwei Streifen (je 10) und die Ecke (4).
Das alte Quadrat (25), zwei Streifen (je 10) und die Ecke (4).

1. binomische Formel

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Die zwei Streifen nicht vergessen! Beispiele: \( 11^2 = (10 + 1)^2 = 100 + 20 + 1 = 121 \), \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \).

Seite \( 5 - 2 = 3 \): Fläche \( 9 = 25 - 10 - 10 + 4 \). Die Ecke wurde zweimal abgeschnitten, deshalb kommt sie einmal zurück.

Zwei Streifen weg, die Ecke einmal zurück: 25 - 10 - 10 + 4 = 9 .
Zwei Streifen weg, die Ecke einmal zurück: \( 25 - 10 - 10 + 4 = 9 \).

2. binomische Formel

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Am Ende steht plus \( b^2 \). Beispiel: \( 9^2 = (10 - 1)^2 = 100 - 20 + 1 = 81 \).

Eine Seite +2 , die andere -2 : Ecke heraus, Stück drehen – das Rechteck 7 · 3 = 21 = 25 - 4 .
Eine Seite \( +2 \), die andere \( -2 \): Ecke heraus, Stück drehen – das Rechteck \( 7 \cdot 3 = 21 = 25 - 4 \).

3. binomische Formel

\( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \). Beispiele: \( 21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399 \), \( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25 \).

Achtung, häufiger Fehler: \( (a + b)^2 \) ist nicht \( a^2 + b^2 \).

Das Arbeitsblatt

Hier siehst du das Arbeitsblatt zum Video. Oben erklärt es noch einmal alles, danach kommen Päckchenaufgaben mit drei Schwierigkeitsstufen. Du kannst es auch als PDF öffnen und ausdrucken.

📄 Arbeitsblatt öffnen (PDF)

Das Arbeitsblatt – Seite 1
Seite 1/6
Das Arbeitsblatt – Seite 2
Seite 2/6
Das Arbeitsblatt – Seite 3
Seite 3/6
Das Arbeitsblatt – Seite 4
Seite 4/6
Das Arbeitsblatt – Seite 5
Seite 5/6
Lösungen des Arbeitsblatts anzeigen
Das Arbeitsblatt – Seite 6
Seite 6/6

Probier es selbst

Aufgabe

Rechne mit den binomischen Formeln: a) \( 31^2 \) b) \( 19^2 \) c) \( 12 \cdot 8 \) d) \( (x + 4)^2 \)

Lösung anzeigen

a) \( 900 + 60 + 1 = 961 \) b) \( 400 - 40 + 1 = 361 \) c) \( 100 - 4 = 96 \) d) \( x^2 + 8x + 16 \)

Mit einem Sprachmodell weiterlernen

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die drei binomischen Formeln (a + b)², (a − b)² und (a + b)(a − b), auch zum Kopfrechnen. Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

So ist das entstanden: Idee, Aufbau und Beispiele der Reihe sind von mir. Umgesetzt habe ich sie mit KI-Unterstützung: Die Folien des Videos hat ein Sprachmodell (LLM) nach meinen Vorgaben gebaut. Die Stimme ist mit Qwen3-TTS erzeugt, nach dem Vorbild meiner eigenen Stimme.

Auch die Untertitel, die Übersetzungen, das Arbeitsblatt und diese Seite sind mit KI-Unterstützung entstanden. Die Übersetzungen hat niemand mit dieser Muttersprache geprüft.

Videos, Arbeitsblätter, Texte und Prompts dieser Reihe stehen unter der Lizenz CC BY 4.0: Du darfst sie verwenden, verändern und weitergeben, wenn du die Quelle nennst.