Wykres funkcji wykładniczej

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Bakterie dzielą się na dwie co godzinę: zawsze razy 2. To wzrost wykładniczy (exponentielles Wachstum). Rysujesz wykres \(y = 2^x\) i porównujesz różne podstawy.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie wykres rośnie z tabeli wartości. Potem widzisz porównanie podstaw \(2\), \(3\) i \(0{,}5\).

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Tabela wartości dla \(y = 2^x\)

\(2^0 = 1\), \(2^{-1} = \frac{1}{2}\), \(2^{-2} = \frac{1}{4}\), \(2^{-3} = \frac{1}{8}\). Dla dodatnich \(x\) \(y\) rośnie coraz szybciej. Dla ujemnych \(x\) \(y\) staje się małe, ale nigdy nie jest zerem.

Wykres

Wykres zawsze przechodzi przez \((0|1)\), bo \(b^0 = 1\). Na prawo rośnie coraz bardziej stromo. Na lewo zbliża się do osi \(x\), ale nigdy jej nie dotyka: oś \(x\) to asymptota (die Asymptote).

Inne podstawy

\(b > 1\): wykres rośnie. \(0 < b < 1\): wykres maleje. \(y = 0{,}5^x\) to odbicie lustrzane \(y = 2^x\) względem osi \(y\). Wszystkie wykresy przechodzą przez \((0|1)\).

Porównanie 2^x, 3^x i 0{,}5^x. — Porównanie \(2^x\), \(3^x\) i \(0{,}5^x\).

Uwaga: \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), a nie \(2 \cdot 3 = 6\). \(y = 2x\) to prosta, \(y = 2^x\) to krzywa.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz \(y\) dla \(y = 3^x\) przy \(x = -1\), \(0\) i \(2\). Czy wykres rośnie, czy maleje?

Pokaż rozwiązanie

\(\frac{1}{3}\), \(1\), \(9\). Podstawa \(3\) jest większa od \(1\): wykres rośnie.

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: der Graph der Exponentialfunktion y = b^x (Wertetabelle, Basis, steigen und fallen). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.