Wartość początkowa i współczynnik wzrostu

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Mnożysz funkcję wykładniczą przez liczbę \(a\). Poznajesz wartość początkową i współczynnik wzrostu, wzrost i zanik oraz to, jak znaleźć równanie z dwóch punktów.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie widzisz, jak \(a\) sprawia, że krzywa zaczyna się na osi \(y\), i jak \(b\) wynika z dwóch wartości \(y\).

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Wartość początkowa \(a\)

\(y = a \cdot b^x\). Dla \(x = 0\) mamy \(b^0 = 1\), więc \(y = a\). Liczba \(a\) to wartość początkowa (der Startwert) i punkt przecięcia z osią \(y\). Przykład: \(y = 2 \cdot 2^x\) zaczyna się od \(2\).

y = 2 · 2^x zaczyna się od 2. — \(y = 2 \cdot 2^x\) zaczyna się od \(2\).

Współczynnik wzrostu \(b\)

Podziel dwie kolejne wartości \(y\): dla \(y = 2 \cdot 3^x\) wartości \(y\) to \(2, 6, 18, 54\). \(6 : 2 = 3\). Liczba \(b\) to współczynnik wzrostu (der Wachstumsfaktor).

\(b > 1\): wzrost. \(b = 1{,}05\) oznacza \(+5\,\%\). \(0 < b < 1\): zanik (der Zerfall). \(b = 0{,}9\) oznacza \(-10\,\%\).

Równanie z dwóch punktów

\((0|3)\) i \((2|12)\): \(a = 3\). \(12 = 3 \cdot b^2\), więc \(b^2 = 4\) i \(b = 2\). \(y = 3 \cdot 2^x\).

Krzywa przez (0|3) i (2|12). — Krzywa przez \((0|3)\) i \((2|12)\).

Uwaga: \(y = 2 \cdot 3^x\) dla \(x = 2\): najpierw potęga \(3^2 = 9\), potem razy \(2\). Czyli \(18\), a nie \(6^2 = 36\).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Funkcja wykładnicza przechodzi przez \((0|4)\) i \((1|6)\). Jakie jest jej równanie?

Pokaż rozwiązanie

\(a = 4\). \(6 = 4 \cdot b\), więc \(b = 1{,}5\). \(y = 4 \cdot 1{,}5^x\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponentialfunktionen y = a·b^x (Startwert, Wachstumsfaktor, Gleichung aus zwei Punkten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.