Czas podwojenia i okres połowicznego rozpadu

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Niektóre rzeczy podwajają się regularnie, inne zmniejszają się o połowę. Poznajesz funkcję \(y = a \cdot b^{t/T}\) z czasem podwojenia i okresem połowicznego rozpadu.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie lek zmniejsza się o połowę co cztery godziny. Widzisz tabelę, wykres i funkcję.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Okres połowicznego rozpadu

Lek: \(80\) mg, co \(4\) godziny o połowę mniej: \(80, 40, 20, 10\). Czas, w którym ilość zmniejsza się o połowę, to okres połowicznego rozpadu (die Halbwertszeit).

Tabela: co 4 godziny razy 1/2. — Tabela: co \(4\) godziny razy \(\frac{1}{2}\).

Funkcja

\(y = 80 \cdot 0{,}5^{t/4}\). Wykładnik \(t/4\) liczy okresy połowicznego rozpadu. Dla \(t = 8\) wynosi \(2\): \(80 \cdot 0{,}5^2 = 20\).

Wykres y = 80 · 0{,}5^{t/4}. — Wykres \(y = 80 \cdot 0{,}5^{t/4}\).

Czas podwojenia (die Verdopplungszeit): \(100\) bakterii, razy \(2\) co \(3\) godziny: \(y = 100 \cdot 2^{t/3}\). Dla \(t = 6\): \(100 \cdot 4 = 400\).

Ogólnie

\(y = a \cdot b^{t/T}\): \(a\) to wartość początkowa, \(T\) czas jednego kroku. \(b = 2\): podwojenie, \(b = \frac{1}{2}\): okres połowicznego rozpadu. Kofeina: \(100\) mg, \(T = 5\) h, po \(10\) h: \(25\) mg.

Po dwóch okresach połowicznego rozpadu zostaje jedna czwarta.

Uwaga: Po dwóch okresach połowicznego rozpadu nie znika wszystko, zostaje jedna czwarta. Ilość nigdy nie staje się dokładnie zerem.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Substancja waży \(200\) g, a jej okres połowicznego rozpadu wynosi \(3\) dni. Ile gramów zostanie po \(9\) dniach?

Pokaż rozwiązanie

\(9 : 3 = 3\) okresy. \(200 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 25\) g.

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Verdopplungszeit und Halbwertszeit (Funktion y = a·b^(t/T)). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.