Rozwiązywanie równań wykładniczych

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Teraz pytasz odwrotnie: dla jakiego \(x\) \(y\) ma pewną wartość? Rozwiązujesz równania takie jak \(2^x = 20\) przez próbowanie, przy tej samej podstawie i za pomocą logarytmu.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie szukasz na wykresie pasującego \(x\). Potem obliczasz je za pomocą logarytmu.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Próbowanie

\(2^x = 8\): \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\). Zatem \(x = 3\).

Na wykresie: od y = 8 poziomo do krzywej, potem pionowo w dół do x = 3. — Na wykresie: od \(y = 8\) poziomo do krzywej, potem pionowo w dół do \(x = 3\).

Ta sama podstawa

Zapisz obie strony jako potęgę tej samej podstawy: \(3^x = 81 = 3^4\), więc \(x = 4\). \(2^x = \frac{1}{4} = 2^{-2}\), więc \(x = -2\).

Logarytm

\(2^x = 20\) nie da się znaleźć przez próbowanie. Zachodzi \(x = \dfrac{\lg 20}{\lg 2} \approx 4{,}32\). Sprawdzenie: \(2^{4{,}32} \approx 20\).

2^x = 20 ma rozwiązanie x \approx 4{,}32. — \(2^x = 20\) ma rozwiązanie \(x \approx 4{,}32\).

Zastosowanie: odsetki

\(1000\) € przy \(5\,\%\): \(1000 \cdot 1{,}05^x = 2000\), więc \(1{,}05^x = 2\) i \(x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \approx 14{,}2\) lat.

Kiedy z 1000 € zrobią się dwa tysiące euro? — Kiedy z \(1000\) € zrobią się dwa tysiące euro?

Uwaga: \(2^x = 20\) nie oznacza \(x = 20 : 2 = 10\). Bo \(2^{10} = 1024\). \(x\) stoi w wykładniku, nie można po prostu dzielić. Użyj logarytmu.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Rozwiąż \(3^x = 50\) za pomocą logarytmu.

Pokaż rozwiązanie

\(x = \dfrac{\lg 50}{\lg 3} \approx 3{,}56\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponentialgleichungen lösen (Probieren, gleiche Basis, Logarithmus). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.