Начальное значение и коэффициент роста

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Ты умножаешь показательную функцию на число \(a\). Ты узнаешь начальное значение и коэффициент роста, рост и спад и как составить уравнение по двум точкам.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео видно, как \(a\) задаёт старт кривой на оси \(y\) и как \(b\) получается из двух значений \(y\).

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

Начальное значение \(a\)

\(y = a \cdot b^x\). При \(x = 0\) имеем \(b^0 = 1\), значит \(y = a\). Число \(a\) — начальное значение (der Startwert) и пересечение с осью \(y\). Пример: \(y = 2 \cdot 2^x\) начинается в точке \(2\).

y = 2 · 2^x начинается в точке 2. — \(y = 2 \cdot 2^x\) начинается в точке \(2\).

Коэффициент роста \(b\)

Раздели два соседних значения \(y\): у \(y = 2 \cdot 3^x\) значения \(y\): \(2, 6, 18, 54\). \(6 : 2 = 3\). Число \(b\) — коэффициент роста (der Wachstumsfaktor).

Всегда умножаем на 3. — Всегда умножаем на \(3\).

\(b > 1\): рост. \(b = 1{,}05\) значит \(+5\,\%\). \(0 < b < 1\): спад (der Zerfall). \(b = 0{,}9\) значит \(-10\,\%\).

Уравнение по двум точкам

\((0|3)\) и \((2|12)\): \(a = 3\). \(12 = 3 \cdot b^2\), значит \(b^2 = 4\) и \(b = 2\). \(y = 3 \cdot 2^x\).

Кривая через (0|3) и (2|12). — Кривая через \((0|3)\) и \((2|12)\).

Внимание: \(y = 2 \cdot 3^x\) при \(x = 2\): сначала степень \(3^2 = 9\), потом умножаем на \(2\). Получается \(18\), а не \(6^2 = 36\).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/3

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/3

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/3

Попробуй!

Задание

Показательная функция проходит через \((0|4)\) и \((1|6)\). Каково уравнение?

Показать решение

\(a = 4\). \(6 = 4 \cdot b\), значит \(b = 1{,}5\). \(y = 4 \cdot 1{,}5^x\).

Учиться дальше с языковой моделью

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponentialfunktionen y = a·b^x (Startwert, Wachstumsfaktor, Gleichung aus zwei Punkten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.