Układy równań liniowych

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Dwie liczby dają razem 10. Ich różnica wynosi 2. Jakie to liczby? Tu są dwie niewiadome i dwa równania.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie rozwiązujemy zagadkę przez punkt przecięcia, metodą dodawania i metodą podstawiania.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Układ równań (ein Gleichungssystem)

Dwa równania z dwiema zmiennymi: I \(x + y = 10\), II \(x - y = 2\). Rozwiązanie spełnia oba równania. W układzie współrzędnych to punkt przecięcia obu prostych.

Proste przecinają się w (6|4). — Proste przecinają się w \((6|4)\).

Metoda dodawania (das Additionsverfahren)

Dodaj oba równania: \(y\) znika. \(2x = 12\), \(x = 6\). Wstaw do I: \(y = 4\).

I + II: + y i - y się znoszą. — I + II: \(+ y\) i \(- y\) się znoszą.

Metoda podstawiania (das Einsetzungsverfahren)

Jeśli jedno równanie mówi już \(y = …\), wstaw to do drugiego: \(y = 2x\) w \(x + y = 9\) daje \(x + 2x = 9\), więc \(x = 3\) i \(y = 6\). Jeśli podstawiasz wyrażenie z plusem lub minusem, zapisz je w nawiasie: \(2 \cdot (x + 1)\).

y samo: podstawiaj. +y i -y: dodawaj. — \(y\) samo: podstawiaj. \(+y\) i \(-y\): dodawaj.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Rozwiąż: I \(x + y = 7\), II \(x - y = 1\)

Pokaż rozwiązanie

I + II: \(2x = 8\), \(x = 4\). W I: \(4 + y = 7\), \(y = 3\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: lineare Gleichungssysteme (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren, Schnittpunkt). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.