Miara łukowa

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Dotąd mierzysz kąty w stopniach. Jest jeszcze druga miara: miara łukowa (das Bogenmaß). Kąt mierzysz jako długość wzdłuż brzegu okręgu o promieniu \(1\).

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie łuk biegnie wzdłuż okręgu jednostkowego (der Einheitskreis). Widzisz, jak przeliczać między stopniami i radianami.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Długość wzdłuż okręgu

Obwód okręgu jednostkowego to \(2\pi \approx 6{,}28\). Pełny kąt: \(360^\circ = 2\pi\). Ćwierć okręgu: \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\). Pół okręgu: \(180^\circ = \pi\).

Długości łuków na okręgu jednostkowym: \pi/2 i \pi. — Długości łuków na okręgu jednostkowym: \(\frac{\pi}{2}\) i \(\pi\).

Przeliczanie

\(180^\circ\) odpowiada \(\pi\). Stopnie \(\to\) radiany: \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). Radiany \(\to\) stopnie: \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). Przykład: \(60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\).

Ważne kąty

\(30^\circ = \frac{\pi}{6}\), \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\), \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\), \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\), \(180^\circ = \pi\), \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\), \(360^\circ = 2\pi\).

Uwaga: To nie jest \(\pi = 180\)! Prawda, że \(\pi \approx 3{,}14\), ale kąt \(\pi\) to \(180^\circ\). W GeoGebrze sin(90°) liczy w stopniach, sin(90) w radianach.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Zamień \(120^\circ\) na radiany. Potem zamień \(\frac{3\pi}{4}\) na stopnie.

Pokaż rozwiązanie

\(120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}\). \(\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: das Bogenmaß (Grad und Bogenmaß umrechnen, Einheitskreis). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.