Радианная мера

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Раньше ты измерял углы в градусах. Есть вторая мера: радианная мера (das Bogenmaß). Ты измеряешь угол как длину вдоль края круга с радиусом \(1\).

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео дуга идёт по единичной окружности (der Einheitskreis). Ты видишь, как переводить градусы в радианы и обратно.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

Длина вдоль окружности

Длина единичной окружности \(2\pi \approx 6{,}28\). Весь круг: \(360^\circ = 2\pi\). Четверть круга: \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\). Половина круга: \(180^\circ = \pi\).

Длины дуг на единичной окружности: \pi/2 и \pi. — Длины дуг на единичной окружности: \(\frac{\pi}{2}\) и \(\pi\).

Перевод

\(180^\circ\) соответствуют \(\pi\). Градусы \(\to\) радианы: \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). Радианы \(\to\) градусы: \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). Пример: \(60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\).

Важные углы

\(30^\circ = \frac{\pi}{6}\), \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\), \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\), \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\), \(180^\circ = \pi\), \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\), \(360^\circ = 2\pi\).

Внимание: Неверно \(\pi = 180\)! Верно, что \(\pi \approx 3{,}14\), но угол \(\pi\) равен \(180^\circ\). В GeoGebra sin(90°) считает в градусах, sin(90) в радианах.

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/4

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/4

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/4

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 4 — Страница 4/4

Попробуй!

Задание

Переведи \(120^\circ\) в радианы. Потом переведи \(\frac{3\pi}{4}\) в градусы.

Показать решение

\(120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}\). \(\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ\).

Учиться дальше с языковой моделью

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: das Bogenmaß (Grad und Bogenmaß umrechnen, Einheitskreis). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.