targas-edu.de
DE ☾ A+

Функцията тангенс

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Тангенсът (der Tangens) е отношението на синуса към косинуса. Върху единичната окръжност той е наклонът на една права. Научаваш графиката с вертикалните асимптоти.
📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Във видеото виждаш тангенса като височина върху правата \(x = 1\). После се появява графиката с клоновете ѝ.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Съдържание на видеото

  1. 0:00 Увод: наклон
  2. 0:22 Тангенс върху окръжността
  3. 0:44 Графиката
  4. 1:05 Свойства
  5. 1:24 Внимание, грешка!
  6. 1:43 Опитай сам

Най-важното

Тангенс

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). Върху единичната окръжност това е наклонът на правата през началото и \(P\). При \(45^\circ\) синусът и косинусът са равни, значи \(\tan 45^\circ = 1\).

Правата \(x = 1\)

Лъчът през \(P\) пресича правата \(x = 1\) на височина \(\tan\alpha\). \(\tan 30^\circ \approx 0{,}58\), \(\tan 60^\circ \approx 1{,}73\). Когато \(\alpha\) се приближава до \(90^\circ\), височината става колкото си искаш голяма.

Тангенсът като височина върху правата x = 1.
Тангенсът като височина върху правата \(x = 1\).

Графиката

Графиката минава през началото и расте. При \(\frac{\pi}{2}\) е \(\cos x = 0\), там няма стойност: вертикална асимптота (die Asymptote). После отдолу започва нов клон.

Графиката на y = \tan x с асимптотите.
Графиката на \(y = \tan x\) с асимптотите.

Свойства

Период \(\pi\). Нули \(k \cdot \pi\). Няма стойности при \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Множество от стойности: всички реални числа. \(\tan\frac{\pi}{4} = 1\).

Свойства на функцията тангенс.
Свойства на функцията тангенс.

Внимание: \(\tan 90^\circ\) не съществува: \(\cos 90^\circ = 0\), а на нула не се дели. GeoGebra показва въпросителен знак.

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1
Страница 1/4
Работният лист – Страница 2
Страница 2/4
Работният лист – Страница 3
Страница 3/4
Покажи решенията на работния лист
Работният лист – Страница 4
Страница 4/4

Опитай!

Задача

Изчисли \(\tan\frac{\pi}{4}\) и \(\tan 0\). За кои \(x\) между \(-\pi\) и \(\pi\) няма тангенс?

Покажи решението

\(\tan\frac{\pi}{4} = 1\). \(\tan 0 = 0\). Няма тангенс при \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\).

Учи нататък с езиков модел

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die Tangensfunktion (Tangens = Sinus durch Kosinus, Graph, Asymptoten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.