targas-edu.de
DE ☾ A+

Funkcja tangens

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Tangens (der Tangens) to iloraz sinusa i cosinusa. Na okręgu jednostkowym jest nachyleniem prostej. Uczysz się wykresu z jego asymptotami pionowymi.
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie widzisz tangens jako wysokość na prostej \(x = 1\). Potem pojawia się wykres z jego gałęziami.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp: nachylenie
  2. 0:22 Tangens na okręgu
  3. 0:44 Wykres
  4. 1:05 Własności
  5. 1:24 Uwaga, błąd!
  6. 1:43 Spróbuj sam

Najważniejsze

Tangens

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). Na okręgu jednostkowym to nachylenie prostej przechodzącej przez początek układu i punkt \(P\). Przy \(45^\circ\) sinus i cosinus są równe, więc \(\tan 45^\circ = 1\).

Prosta \(x = 1\)

Półprosta przez \(P\) przecina prostą \(x = 1\) na wysokości \(\tan\alpha\). \(\tan 30^\circ \approx 0{,}58\), \(\tan 60^\circ \approx 1{,}73\). Gdy \(\alpha\) zbliża się do \(90^\circ\), wysokość staje się dowolnie duża.

Tangens jako wysokość na prostej x = 1.
Tangens jako wysokość na prostej \(x = 1\).

Wykres

Wykres przechodzi przez początek układu i rośnie. Przy \(\frac{\pi}{2}\) mamy \(\cos x = 0\), więc nie ma wartości: pionowa asymptota (die Asymptote). Potem od dołu zaczyna się nowa gałąź.

Wykres y = \tan x z asymptotami.
Wykres \(y = \tan x\) z asymptotami.

Własności

Okres \(\pi\). Miejsca zerowe \(k \cdot \pi\). Brak wartości przy \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Zbiór wartości: wszystkie liczby rzeczywiste. \(\tan\frac{\pi}{4} = 1\).

Własności funkcji tangens.
Własności funkcji tangens.

Uwaga: \(\tan 90^\circ\) nie istnieje: \(\cos 90^\circ = 0\), a przez zero nie wolno dzielić. GeoGebra pokazuje znak zapytania.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/4
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/4
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/4
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 4
Strona 4/4

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz \(\tan\frac{\pi}{4}\) i \(\tan 0\). Dla jakich \(x\) między \(-\pi\) a \(\pi\) tangens nie istnieje?

Pokaż rozwiązanie

\(\tan\frac{\pi}{4} = 1\). \(\tan 0 = 0\). Tangens nie istnieje przy \(-\frac{\pi}{2}\) i \(\frac{\pi}{2}\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die Tangensfunktion (Tangens = Sinus durch Kosinus, Graph, Asymptoten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.