targas-edu.de
DE ☾ A+

Funkcja cosinus

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Na okręgu jednostkowym punkt \(P\) ma wysokość i szerokość. Wysokość to sinus, szerokość to cosinus (der Kosinus). Uczysz się wykresu i tego, jak łączy się z sinusem.
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie widzisz cosinus na okręgu i jako krzywą. Potem porównujesz sinus i cosinus i widzisz twierdzenie Pitagorasa w okręgu.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp: współrzędna x
  2. 0:22 Wykres
  3. 0:40 Sinus i cosinus
  4. 1:01 Twierdzenie Pitagorasa
  5. 1:26 Uwaga, błąd!
  6. 1:42 Spróbuj sam

Najważniejsze

Cosinus na okręgu jednostkowym

\(\cos\alpha\) to współrzędna \(x\) punktu \(P\), odległość od osi \(y\). \(\cos 0^\circ = 1\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\cos 180^\circ = -1\).

Cosinus to szerokość punktu P.
Cosinus to szerokość punktu \(P\).

Wykres

Cosinusoida (Kosinuskurve) zaczyna się w \(1\). Okres \(2\pi\), wartości między \(-1\) a \(1\).

Od okręgu do wykresu.
Od okręgu do wykresu.

Sinus i cosinus

\(\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})\): cosinusoida to sinusoida przesunięta w lewo o \(\frac{\pi}{2}\). Wykres jest symetryczny względem osi \(y\).

Porównanie sinusa i cosinusa.
Porównanie sinusa i cosinusa.

Twierdzenie Pitagorasa

Na okręgu jednostkowym \(\cos\alpha\) i \(\sin\alpha\) to przyprostokątne, promień \(1\) to przeciwprostokątna. Zatem \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Przykład: \(0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\).

Uwaga: Nie myl ich: sinus to wysokość, cosinus to szerokość. Dla \(0^\circ\) mamy \(\sin 0^\circ = 0\), ale \(\cos 0^\circ = 1\).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/4
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/4
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/4
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 4
Strona 4/4

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz \(\cos\pi\) i \(\cos\frac{\pi}{3}\). Wiadomo, że \(\sin x = 0{,}6\) w pierwszej ćwiartce. Ile wynosi \(\cos x\)?

Pokaż rozwiązanie

\(\cos\pi = -1\). \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\). \(\cos^2 x = 1 - 0{,}6^2 = 0{,}64\), więc \(\cos x = 0{,}8\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die Kosinusfunktion (Einheitskreis, Graph, Zusammenhang mit dem Sinus). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.