Funkcja sinus

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Punkt porusza się po okręgu jednostkowym. Jego wysokość nazywa się sinusem (der Sinus). Jeśli narysujesz wysokość w zależności od kąta, powstanie fala: wykres funkcji sinus.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie wysokość punktu zostaje krok po kroku przeniesiona do układu współrzędnych. Potem widzisz, jak \(a\) i \(b\) zmieniają falę.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Sinus na okręgu jednostkowym

\(\sin\alpha\) to wysokość (współrzędna \(y\)) punktu \(P\). \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\), \(\sin 270^\circ = -1\).

Sinus to wysokość punktu P. — Sinus to wysokość punktu \(P\).

Wykres

Na osi \(x\) jest kąt w radianach, na osi \(y\) sinus. Punkty tworzą sinusoidę (Sinuskurve).

Własności

Okres \(2\pi\) (die Periode). Wartości leżą między \(-1\) a \(1\). Miejsca zerowe: \(0\), \(\pi\), \(2\pi\), … Maksimum \((\frac{\pi}{2}|1)\), minimum \((\frac{3\pi}{2}|-1)\).

Amplituda i okres

\(y = a \cdot \sin(b \cdot x)\): \(a\) rozciąga w kierunku \(y\) (amplituda, die Amplitude), \(b\) zmienia okres na \(\frac{2\pi}{b}\). Przykład \(y = 3\sin(2x)\): amplituda \(3\), okres \(\pi\).

Porównanie \sin x, 2\sin x i \sin 2x. — Porównanie \(\sin x\), \(2\sin x\) i \(\sin 2x\).

Uwaga: W GeoGebrze sin(90°) to \(1\). sin(90) bez znaku stopnia liczy w radianach i daje około \(0{,}89\). Przy \(\pi\) pomijasz znak stopnia, przy stopniach go piszesz.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz \(\sin\frac{\pi}{6}\) i \(\sin\pi\). Jaki okres ma \(y = \sin(3x)\)?

Pokaż rozwiązanie

\(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). \(\sin\pi = 0\). Okres to \(\frac{2\pi}{3}\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die Sinusfunktion (Einheitskreis, Graph, Amplitude und Periode). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.