targas-edu.de
DE ☾ A+

Функция тангенс

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Тангенс (der Tangens) — это отношение синуса к косинусу. На единичной окружности он равен наклону прямой. Ты узнаешь график с вертикальными асимптотами.
📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео ты видишь тангенс как высоту на прямой \(x = 1\). Потом появляется график с его ветвями.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Содержание видео

  1. 0:00 Введение: наклон
  2. 0:22 Тангенс на окружности
  3. 0:44 График
  4. 1:05 Свойства
  5. 1:24 Внимание, ошибка!
  6. 1:43 Попробуй сам

Самое важное

Тангенс

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). На единичной окружности это наклон прямой через начало координат и \(P\). При \(45^\circ\) синус и косинус равны, значит \(\tan 45^\circ = 1\).

Прямая \(x = 1\)

Луч через \(P\) пересекает прямую \(x = 1\) на высоте \(\tan\alpha\). \(\tan 30^\circ \approx 0{,}58\), \(\tan 60^\circ \approx 1{,}73\). Когда \(\alpha\) приближается к \(90^\circ\), высота становится сколь угодно большой.

Тангенс как высота на прямой x = 1.
Тангенс как высота на прямой \(x = 1\).

График

График проходит через начало координат и растёт. При \(\frac{\pi}{2}\) имеем \(\cos x = 0\), значения нет: вертикальная асимптота (die Asymptote). Потом снизу начинается новая ветвь.

График y = \tan x с асимптотами.
График \(y = \tan x\) с асимптотами.

Свойства

Период \(\pi\). Нули \(k \cdot \pi\). Нет значений при \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Область значений: все действительные числа. \(\tan\frac{\pi}{4} = 1\).

Свойства функции тангенс.
Свойства функции тангенс.

Внимание: \(\tan 90^\circ\) не существует: \(\cos 90^\circ = 0\), а на нуль делить нельзя. GeoGebra показывает вопросительный знак.

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1
Страница 1/4
Рабочий лист – Страница 2
Страница 2/4
Рабочий лист – Страница 3
Страница 3/4
Показать решения рабочего листа
Рабочий лист – Страница 4
Страница 4/4

Попробуй!

Задание

Вычисли \(\tan\frac{\pi}{4}\) и \(\tan 0\). При каких \(x\) между \(-\pi\) и \(\pi\) тангенса нет?

Показать решение

\(\tan\frac{\pi}{4} = 1\). \(\tan 0 = 0\). Тангенса нет при \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\).

Учиться дальше с языковой моделью

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die Tangensfunktion (Tangens = Sinus durch Kosinus, Graph, Asymptoten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.