Решаване на показателни уравнения

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Сега питаш обратното: при кое \(x\) стойността на \(y\) е зададена? Решаваш уравнения като \(2^x = 20\) с пробване, с еднакви основи и с логаритъм.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Във видеото търсиш подходящото \(x\) на графиката. После го изчисляваш с логаритъм.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Най-важното

Пробване

\(2^x = 8\): \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\). Значи \(x = 3\).

На графиката: от y = 8 хоризонтално до кривата, после вертикално надолу до x = 3. — На графиката: от \(y = 8\) хоризонтално до кривата, после вертикално надолу до \(x = 3\).

Еднакви основи

Запиши двете страни като степен на една основа: \(3^x = 81 = 3^4\), значи \(x = 4\). \(2^x = \frac{1}{4} = 2^{-2}\), значи \(x = -2\).

Логаритъм

\(2^x = 20\) не се намира с пробване. Вярно е \(x = \dfrac{\lg 20}{\lg 2} \approx 4{,}32\). Проверка: \(2^{4{,}32} \approx 20\).

2^x = 20 има решение x \approx 4{,}32. — \(2^x = 20\) има решение \(x \approx 4{,}32\).

Приложение: лихви

\(1000\) € с \(5\,\%\): \(1000 \cdot 1{,}05^x = 2000\), значи \(1{,}05^x = 2\) и \(x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \approx 14{,}2\) години.

Кога от 1000 € стават две хиляди евро? — Кога от \(1000\) € стават две хиляди евро?

Внимание: \(2^x = 20\) не значи \(x = 20 : 2 = 10\). Защото \(2^{10} = 1024\). \(x\) стои в показателя, не можеш просто да делиш. Използвай логаритъм.

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1 — Страница 1/3

Работният лист – Страница 2 — Страница 2/3

Покажи решенията на работния лист

Работният лист – Страница 3 — Страница 3/3

Опитай!

Задача

Реши \(3^x = 50\) с логаритъм.

Покажи решението

\(x = \dfrac{\lg 50}{\lg 3} \approx 3{,}56\).

Учи нататък с езиков модел

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponentialgleichungen lösen (Probieren, gleiche Basis, Logarithmus). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.