Решение показательных уравнений

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Теперь вопрос наоборот: при каком \(x\) значение \(y\) равно заданному? Ты решаешь уравнения вроде \(2^x = 20\) подбором, с одинаковым основанием и с логарифмом.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео ты ищешь нужный \(x\) на графике. Потом вычисляешь его с помощью логарифма.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

Подбор

\(2^x = 8\): \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\). Значит \(x = 3\).

На графике: от y = 8 горизонтально к кривой, потом вертикально вниз к x = 3. — На графике: от \(y = 8\) горизонтально к кривой, потом вертикально вниз к \(x = 3\).

Одинаковое основание

Запиши обе части как степень одного основания: \(3^x = 81 = 3^4\), значит \(x = 4\). \(2^x = \frac{1}{4} = 2^{-2}\), значит \(x = -2\).

Логарифм

\(2^x = 20\) подбором не найти. Верно \(x = \dfrac{\lg 20}{\lg 2} \approx 4{,}32\). Проверка: \(2^{4{,}32} \approx 20\).

2^x = 20 имеет решение x \approx 4{,}32. — \(2^x = 20\) имеет решение \(x \approx 4{,}32\).

Применение: проценты

\(1000\) € под \(5\,\%\): \(1000 \cdot 1{,}05^x = 2000\), значит \(1{,}05^x = 2\) и \(x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \approx 14{,}2\) года.

Когда из 1000 € станет две тысячи евро? — Когда из \(1000\) € станет две тысячи евро?

Внимание: \(2^x = 20\) не значит \(x = 20 : 2 = 10\). Ведь \(2^{10} = 1024\). \(x\) стоит в показателе, просто делить нельзя. Используй логарифм.

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/3

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/3

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/3

Попробуй!

Задание

Реши \(3^x = 50\) с помощью логарифма.

Показать решение

\(x = \dfrac{\lg 50}{\lg 3} \approx 3{,}56\).

Учиться дальше с языковой моделью

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponentialgleichungen lösen (Probieren, gleiche Basis, Logarithmus). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.