Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Poznajesz kąt środkowy i kąt wpisany. Kąt środkowy jest dwa razy większy niż kąt wpisany. Twierdzenie Talesa jest przypadkiem szczególnym.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie punkt \(P\) wędruje po okręgu. Kąt wpisany pozostaje taki sam. Potem następuje dowód z dwoma trójkątami równoramiennymi.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Kąt środkowy i kąt wpisany

Kąt \(\angle AMB\) przy środku nazywa się kątem środkowym (der Zentriwinkel), kąt \(\angle APB\) na okręgu nazywa się kątem wpisanym (der Umfangswinkel).

Kąt wpisany pozostaje 40^\circ, gdy P wędruje po okręgu. — Kąt wpisany pozostaje \(40^\circ\), gdy \(P\) wędruje po okręgu.

Twierdzenie o kątach w okręgu (der Kreiswinkelsatz)

Kąt środkowy jest dwa razy większy niż kąt wpisany (oparty na tej samej cięciwie, \(P\) na dłuższym łuku). Przy średnicy: \(180^\circ = 2 \cdot 90^\circ\) (twierdzenie Talesa).

Dowód: 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ i 360^\circ - 140^\circ - 140^\circ = 80^\circ. — Dowód: \(20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\) i \(360^\circ - 140^\circ - 140^\circ = 80^\circ\).

Błąd: P leży na drugim łuku. Tam kąt wpisany ma 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ. — Błąd: \(P\) leży na drugim łuku. Tam kąt wpisany ma \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Kąt środkowy \(\angle AMB\) ma \(70^\circ\). Ile wynosi kąt wpisany \(\angle APB\) (\(P\) na dłuższym łuku)?

Pokaż rozwiązanie

\(70^\circ : 2 = 35^\circ\)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Kreiswinkelsatz (Zentriwinkel, Umfangswinkel, Sehne, Satz des Thales als Sonderfall). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.