Объём шара

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Почему шар заполняет две трети цилиндра? С принципом Кавальери и приёмом Архимеда ты найдёшь формулу.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео полушарие и цилиндр без конуса разрезают на любой высоте.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

Принцип Кавальери

Если у двух тел на любой высоте сечения одинаковой площади, то у них одинаковый объём. Пример: прямая и наклонная стопка одинаковых монет.

Полушарие и цилиндр без конуса

Сечение на высоте \(h\): слева круг \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), справа кольцо \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Одинаково! Значит: \(V_\text{полушария} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) и \(V_\text{шара} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

Архимед (около 287–212 до н. э., Сиракузы) показал: шар и цилиндр относятся как \(2 : 3\). По словам Плутарха, он хотел шар и цилиндр на своей могиле; Цицерон пишет, что нашёл эту могилу в 75 году до н. э.

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/4

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/4

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/4

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 4 — Страница 4/4

Попробуй!

Задание

Считай с \(\pi \approx 3{,}14\). Каков объём шара при а) \(r = 3\) см б) \(r = 10\) см?

Показать решение

а) \(113{,}04\text{ cm}^3\) б) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)

Учиться дальше с языковой моделью

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.