Нулев и отрицателен степенен показател

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Колко е \( 2^0 \)? Колко е \( 2^{-3} \)? Свойствата на степените (die Potenzgesetze) трябва да продължат да важат. Така намираме: \( a^0 = 1 \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Обърни внимание на цветовете: основата е синя, степенният показател е оранжев.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Най-важното

Да напишем двойката нула пъти не става. Нашата идея: свойствата на степените трябва да важат. \( 2^3 = 2^{3+0} = 2^3 \cdot 2^0 \), значи \( 8 = 8 \cdot 2^0 \). Умножението с \( 2^0 \) не променя нищо. Значи \( 2^0 = 1 \).

Свойствата на степените трябва да важат. Така намираме 2^0 = 1 . — Свойствата на степените трябва да важат. Така намираме \( 2^0 = 1 \).

Нулев показател

Всяко число на нулева степен е едно: \( a^0 = 1 \) (за \( a \neq 0 \)). Проверка: \( 2^3 : 2^3 = 8 : 8 = 1 \) и \( 2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 \). Внимание: \( 2^0 \) не е \( 0 \) и не е \( 2 \).

\( 2 = 2^1 = 2^{4-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 16 \cdot 2^{-3} \). Понеже \( 16 \cdot \frac{1}{8} = 2 \), имаме \( 2^{-3} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} \).

Когато показателят намалее с едно, делим на 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.

Отрицателен показател

Минус в показателя прави от степента дроб (der Bruch): \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). Особено важно: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) е реципрочното число (der Kehrwert) на \( a \). Примери: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \), \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \), \( 10^{-2} = \frac{1}{100} \).

Отрицателният показател дава дроб, а не отрицателно число: 2^{-3} = 1/8 , не -8 . — Отрицателният показател дава дроб, а не отрицателно число: \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \), не \( -8 \).

Поглед напред: и дроб може да бъде показател, например \( 4^{\frac{1}{2}} \). Това ще учим по-късно с корените (die Wurzel).

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1 — Страница 1/6

Работният лист – Страница 2 — Страница 2/6

Работният лист – Страница 3 — Страница 3/6

Работният лист – Страница 4 — Страница 4/6

Работният лист – Страница 5 — Страница 5/6

Покажи решенията на работния лист

Работният лист – Страница 6 — Страница 6/6

Опитай!

Задача

Пресметни: a) \( 7^0 \) b) \( 4^{-2} \) c) \( 10^{-3} \) d) \( 2^3 \cdot 2^{-3} \)

Покажи решението

a) \( 1 \) b) \( \frac{1}{16} \) c) \( \frac{1}{1000} \) d) \( 2^0 = 1 \)

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: нулев и отрицателен степенен показател (a на степен 0 = 1, a на степен минус n = 1 делено на a на степен n). Дай ми една след друга пет кратки задачи. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е вярно и обясни накратко защо. Пиши с прости немски изречения и след всяко изречение дай превод на български в скоби.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.