Свойства на степените

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Със свойствата на степените (die Potenzgesetze) записваш сметките по-кратко: умножаваш и делиш степени с еднаква основа, повдигаш степен в скоби на степен, умножаваш степени с еднакъв степенен показател.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Обърни внимание на цветовете: основата е синя, степенният показател е оранжев. Втората основа е лилава.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Най-важното

При \( 2 + 5 + 8 \) разменяме реда: \( 2 + 8 + 5 = 10 + 5 = 15 \). Така е по-лесно. И при степените има такива трикове: свойствата на степените (die Potenzgesetze).

\( 3^2 \cdot 3^3 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^5 \). Тройката стои \( 2 + 3 = 5 \) пъти.

1-во свойство (1. Potenzgesetz)

Еднаква основа, умножение: основата остава. Показателите събираме: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Трик: \( 8 \cdot 4 \cdot 16 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4 = 2^9 = 512 \).

\( 4^5 : 4^3 \): записваме дроб и три пъти съкращаваме по една четворка. Горе остават \( 5 - 3 = 2 \) четворки: \( 4 \cdot 4 = 4^2 \).

Горе и долу съкращаваме по една четворка, три пъти.

2-ро свойство (2. Potenzgesetz)

Еднаква основа, деление: основата остава. Показателите изваждаме: \( a^m : a^n = a^{m-n} \). Трик: \( 81 : 27 = 3^4 : 3^3 = 3^1 = 3 \).

3-то свойство (3. Potenzgesetz)

Степен стои в скоби: показателите умножаваме: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Пример: \( (2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^6 \).

4-то свойство (4. Potenzgesetz)

Еднакъв показател: показателят остава. Основите умножаваме: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \). Пример: \( 2^4 \cdot 3^4 = 6^4 \). Трик: \( 2^3 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^3 \cdot 5 = 1000 \cdot 5 = 5000 \).

Всички четири свойства. Внимание: 3^2 · 3^3 не е 9^5 , а 3^5 . — Всички четири свойства. Внимание: \( 3^2 \cdot 3^3 \) не е \( 9^5 \), а \( 3^5 \).

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1 — Страница 1/8

Работният лист – Страница 2 — Страница 2/8

Работният лист – Страница 3 — Страница 3/8

Работният лист – Страница 4 — Страница 4/8

Работният лист – Страница 5 — Страница 5/8

Работният лист – Страница 6 — Страница 6/8

Работният лист – Страница 7 — Страница 7/8

Покажи решенията на работния лист

Работният лист – Страница 8 — Страница 8/8

Опитай!

Задача

Запиши като една степен: a) \( 2^5 \cdot 2^3 \) b) \( 7^6 : 7^4 \) c) \( (5^2)^3 \) d) \( 2^3 \cdot 5^3 \)

Покажи решението

a) \( 2^8 \) b) \( 7^2 \) c) \( 5^6 \) d) \( 10^3 \)

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: свойства на степените (еднаква основа: събираме или изваждаме показателите; степен в скоби: умножаваме показателите; еднакъв показател: умножаваме основите). Дай ми една след друга пет кратки задачи. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е вярно и обясни накратко защо. Пиши с прости немски изречения и след всяко изречение дай превод на български в скоби.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.