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Exponente cero y exponentes negativos

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¿Cuánto es \( 2^0 \)? ¿Cuánto es \( 2^{-3} \)? Las leyes de las potencias deben seguir valiendo. Así descubrimos: \( a^0 = 1 \) y \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
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El vídeo

Fíjate en los colores: la base es azul, el exponente es naranja.

Hay subtítulos en diez idiomas. Los eliges en el vídeo, abajo a la derecha.

Contenido del vídeo

  1. 0:00 Introducción
  2. 0:21 Exponente cero
  3. 0:59 La regla del cero
  4. 1:34 Exponentes negativos
  5. 2:20 Un patrón
  6. 2:48 La regla del menos
  7. 3:20 ¡No es negativo!
  8. 3:37 Mirada al futuro
  9. 3:53 Pruébalo tú mismo

Lo más importante

Escribir el dos cero veces no se puede. Nuestra idea: las leyes de las potencias deben seguir valiendo. \( 2^3 = 2^{3+0} = 2^3 \cdot 2^0 \), o sea, \( 8 = 8 \cdot 2^0 \). Multiplicar por \( 2^0 \) no cambia nada. Por tanto, \( 2^0 = 1 \).

Las leyes de las potencias deben seguir valiendo. Así encontramos 2^0 = 1 .
Las leyes de las potencias deben seguir valiendo. Así encontramos \( 2^0 = 1 \).

Exponente cero

Todo número elevado a cero es uno: \( a^0 = 1 \) (para \( a \neq 0 \)). Comprobación: \( 2^3 : 2^3 = 8 : 8 = 1 \) y \( 2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 \). Cuidado: \( 2^0 \) no es \( 0 \) y no es \( 2 \).

\( 2 = 2^1 = 2^{4-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 16 \cdot 2^{-3} \). Como \( 16 \cdot \frac{1}{8} = 2 \), resulta \( 2^{-3} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} \).

Cada vez que el exponente baja en uno, dividimos entre 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.
Cada vez que el exponente baja en uno, dividimos entre 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.

Exponente negativo

Un menos en el exponente convierte la potencia en una fracción: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). Especialmente importante: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) es la fracción inversa (der Kehrwert) de \( a \). Ejemplos: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \), \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \), \( 10^{-2} = \frac{1}{100} \).

Un exponente negativo da una fracción, no un número negativo: 2^{-3} = 1/8 , no -8 .
Un exponente negativo da una fracción, no un número negativo: \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \), no \( -8 \).

Mirada al futuro: también una fracción puede ser exponente, por ejemplo \( 4^{\frac{1}{2}} \). Eso lo aprenderemos más adelante con las raíces.

La hoja de trabajo

Aquí ves la hoja de trabajo del vídeo (en alemán). Arriba explica todo otra vez; después hay ejercicios con tres niveles de dificultad. También puedes abrirla como PDF e imprimirla.

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Pruébalo tú mismo

Ejercicio

Calcula: a) \( 7^0 \) b) \( 4^{-2} \) c) \( 10^{-3} \) d) \( 2^3 \cdot 2^{-3} \)

Mostrar la solución

a) \( 1 \) b) \( \frac{1}{16} \) c) \( \frac{1}{1000} \) d) \( 2^0 = 1 \)

Seguir aprendiendo con un modelo de lenguaje

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Exponent null und negative Exponenten (a hoch 0 = 1, a hoch minus n = 1 geteilt durch a hoch n). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Así se hizo: la idea, la estructura y los ejemplos de la serie son míos. Los realicé con ayuda de IA: un modelo de lenguaje (LLM) construyó las diapositivas del vídeo siguiendo mis instrucciones. La voz se generó con Qwen3-TTS, a partir de mi propia voz.

También los subtítulos, las traducciones, la hoja de trabajo y esta página se hicieron con ayuda de IA. Ningún hablante nativo ha revisado las traducciones.

Los vídeos, las hojas de trabajo, los textos y los prompts de esta serie tienen la licencia CC BY 4.0: puedes usarlos, modificarlos y compartirlos si nombras la fuente.