targas-edu.de
DE ☾ A+

Нулевой и отрицательный показатель

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Сколько будет \( 2^0 \)? Сколько будет \( 2^{-3} \)? Свойства степеней (die Potenzgesetze) должны оставаться верными. Так мы находим: \( a^0 = 1 \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

Обрати внимание на цвета: основание — синее, показатель — оранжевый.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Содержание видео

  1. 0:00 Введение
  2. 0:21 Нулевой показатель
  3. 0:59 Правило для нуля
  4. 1:34 Отрицательные показатели
  5. 2:20 Закономерность
  6. 2:48 Правило для минуса
  7. 3:20 Не отрицательное!
  8. 3:37 Взгляд вперёд
  9. 3:53 Попробуй сам

Самое важное

Записать двойку ноль раз нельзя. Наша идея: свойства степеней должны оставаться верными. \( 2^3 = 2^{3+0} = 2^3 \cdot 2^0 \), значит \( 8 = 8 \cdot 2^0 \). Умножение на \( 2^0 \) ничего не меняет. Значит, \( 2^0 = 1 \).

Свойства степеней должны оставаться верными. Так мы находим 2^0 = 1 .
Свойства степеней должны оставаться верными. Так мы находим \( 2^0 = 1 \).

Нулевой показатель

Любое число в нулевой степени равно единице: \( a^0 = 1 \) (при \( a \neq 0 \)). Проверка: \( 2^3 : 2^3 = 8 : 8 = 1 \) и \( 2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 \). Внимание: \( 2^0 \) — это не \( 0 \) и не \( 2 \).

\( 2 = 2^1 = 2^{4-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 16 \cdot 2^{-3} \). Так как \( 16 \cdot \frac{1}{8} = 2 \), получаем \( 2^{-3} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} \).

Если показатель уменьшается на один, делим на 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.
Если показатель уменьшается на один, делим на 2: 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ⅛.

Отрицательный показатель

Минус в показателе превращает степень в дробь (der Bruch): \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). Особенно важно: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) — это обратное число (der Kehrwert) к \( a \). Примеры: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \), \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \), \( 10^{-2} = \frac{1}{100} \).

Отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число: 2^{-3} = 1/8 , а не -8 .
Отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число: \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \), а не \( -8 \).

Взгляд вперёд: показателем может быть и дробь, например \( 4^{\frac{1}{2}} \). Это мы изучим позже вместе с корнями (die Wurzel).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1
Страница 1/6
Рабочий лист – Страница 2
Страница 2/6
Рабочий лист – Страница 3
Страница 3/6
Рабочий лист – Страница 4
Страница 4/6
Рабочий лист – Страница 5
Страница 5/6
Показать решения рабочего листа
Рабочий лист – Страница 6
Страница 6/6

Попробуй!

Задание

Вычисли: a) \( 7^0 \) b) \( 4^{-2} \) c) \( 10^{-3} \) d) \( 2^3 \cdot 2^{-3} \)

Показать решение

a) \( 1 \) b) \( \frac{1}{16} \) c) \( \frac{1}{1000} \) d) \( 2^0 = 1 \)

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: нулевой и отрицательный показатель степени (a в степени 0 = 1, a в степени минус n = 1, делённое на a в степени n). Дай мне по очереди пять коротких заданий. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли, и коротко объясни почему. Пиши простыми немецкими предложениями и после каждого предложения давай перевод на русский в скобках.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.