Свойства степеней

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Со свойствами степеней (die Potenzgesetze) ты записываешь вычисления короче: умножаешь и делишь степени с одинаковым основанием, возводишь степень в скобках в степень, умножаешь степени с одинаковым показателем.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

Обрати внимание на цвета: основание — синее, показатель — оранжевый. Второе основание — фиолетовое.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

В примере \( 2 + 5 + 8 \) мы меняем порядок: \( 2 + 8 + 5 = 10 + 5 = 15 \). Так легче. Для степеней тоже есть такие приёмы: свойства степеней (die Potenzgesetze).

\( 3^2 \cdot 3^3 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^5 \). Тройка стоит \( 2 + 3 = 5 \) раз.

1-е свойство (1. Potenzgesetz)

Одинаковое основание, умножение: основание остаётся. Показатели мы складываем: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Приём: \( 8 \cdot 4 \cdot 16 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4 = 2^9 = 512 \).

Одинаковое основание: складываем показатели.

\( 4^5 : 4^3 \): записываем дробь и три раза сокращаем четвёрку. Сверху остаются \( 5 - 3 = 2 \) четвёрки: \( 4 \cdot 4 = 4^2 \).

Сверху и снизу сокращаем по одной четвёрке, три раза.

2-е свойство (2. Potenzgesetz)

Одинаковое основание, деление: основание остаётся. Показатели мы вычитаем: \( a^m : a^n = a^{m-n} \). Приём: \( 81 : 27 = 3^4 : 3^3 = 3^1 = 3 \).

3-е свойство (3. Potenzgesetz)

Степень стоит в скобках: показатели мы умножаем: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Пример: \( (2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^6 \).

4-е свойство (4. Potenzgesetz)

Одинаковый показатель: показатель остаётся. Основания мы умножаем: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \). Пример: \( 2^4 \cdot 3^4 = 6^4 \). Приём: \( 2^3 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^3 \cdot 5 = 1000 \cdot 5 = 5000 \).

Все четыре свойства. Внимание: 3^2 · 3^3 — это не 9^5 , а 3^5 . — Все четыре свойства. Внимание: \( 3^2 \cdot 3^3 \) — это не \( 9^5 \), а \( 3^5 \).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/8

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/8

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/8

Рабочий лист – Страница 4 — Страница 4/8

Рабочий лист – Страница 5 — Страница 5/8

Рабочий лист – Страница 6 — Страница 6/8

Рабочий лист – Страница 7 — Страница 7/8

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 8 — Страница 8/8

Попробуй!

Задание

Запиши в виде одной степени: a) \( 2^5 \cdot 2^3 \) b) \( 7^6 : 7^4 \) c) \( (5^2)^3 \) d) \( 2^3 \cdot 5^3 \)

Показать решение

a) \( 2^8 \) b) \( 7^2 \) c) \( 5^6 \) d) \( 10^3 \)

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: свойства степеней (одинаковое основание: складывать или вычитать показатели; степень в скобках: умножать показатели; одинаковый показатель: умножать основания). Дай мне по очереди пять коротких заданий. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли, и коротко объясни почему. Пиши простыми немецкими предложениями и после каждого предложения давай перевод на русский в скобках.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.