A raiz de 2 é irracional
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O vídeo
Preste atenção nas cores: a diagonal e \( \sqrt{2} \) são laranja, os quadradinhos são azuis.
Conteúdo do vídeo
- 0:00 Introdução
- 0:21 Um truque com áreas
- 0:59 Qual é o tamanho da raiz de dois?
- 1:36 Uma fração?
- 2:04 A prova
- 3:01 Números irracionais
- 3:30 Um olhar para a história
- 4:38 Outras raízes
- 5:00 Tente você mesmo
O mais importante
Quatro quadrados de lado 1 formam um quadrado grande de área 4. As quatro diagonais formam um quadrado inclinado feito de quatro metades – área 2. O lado dele é a diagonal. Então a diagonal é \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).
\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – quase 2, mas nunca exatamente. Frações também nunca acertam: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).
Racional e irracional
Racional: pode ser escrito como fração, p. ex. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) ou \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (o 3 se repete). Irracional: nenhuma fração é possível, os algarismos nunca acabam e nunca se repetem, p. ex. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Se um número natural não é quadrado perfeito, a sua raiz é irracional.
Os pitagóricos acreditavam: “Tudo é número.” O pitagórico Hipaso teria descoberto que lado e diagonal não cabem em nenhuma razão de números inteiros. Uma lenda conta que ele revelou o segredo e se afogou no mar. Hoje os historiadores consideram a lenda pouco provável.
A folha de exercícios
Aqui está a folha de exercícios do vídeo (em alemão). Primeiro ela explica tudo de novo, depois vêm exercícios em três níveis de dificuldade. Você também pode abrir como PDF e imprimir.
📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)
Mostrar as soluções da folha
Tente você
Tarefa
Racional ou irracional? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)
Mostrar solução
a) racional (5) b) irracional c) racional d) irracional
Continue aprendendo com um modelo de linguagem
Você é meu professor de matemática. Estou aprendendo alemão como segunda língua. Nosso tema: a raiz de 2 é irracional (diagonal do quadrado, números racionais e irracionais). Me faça cinco perguntas curtas, uma depois da outra. Espere sempre a minha resposta. Depois diga se está certa e explique rapidamente por quê. Escreva em frases simples em alemão e coloque a tradução em português entre parênteses depois de cada frase.
Como isto foi feito: a ideia, a estrutura e os exemplos da série são meus. A série foi feita com a ajuda de IA: um modelo de linguagem (LLM) criou os slides do vídeo seguindo as minhas instruções. A voz foi gerada com Qwen3-TTS, a partir da minha própria voz.
As legendas, as traduções, a folha de exercícios e esta página também foram feitas com a ajuda de IA. As traduções não foram revisadas por falantes nativos.
Os vídeos, as folhas de exercícios, os textos e os prompts desta série estão sob a licença CC BY 4.0: você pode usar, alterar e compartilhar, desde que cite a fonte.