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Produtos notáveis

Esta página foi traduzida do alemão com IA. Não foi revisada por um falante nativo. Página original em alemão

Um quadrado tem lado 5. O que acontece com a área (die Fläche) quando o lado fica 2 maior ou menor? Da figura saem os três produtos notáveis (die binomischen Formeln).
📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)

O vídeo

Preste atenção nas cores: \( a \) e \( a^2 \) são azuis, \( b \) e \( b^2 \) são roxos, as faixas \( ab \) são laranja.

Há legendas em dez idiomas. Escolha no vídeo, embaixo à direita.

Conteúdo do vídeo

  1. 0:00 Introdução
  2. 0:24 Mais dois
  3. 1:03 O primeiro produto notável
  4. 1:30 Exemplos
  5. 1:58 Menos dois
  6. 2:38 O segundo produto notável
  7. 3:03 Maior e menor
  8. 3:43 O terceiro produto notável
  9. 4:11 Os três produtos
  10. 4:30 Tente você mesmo

O mais importante

Lado 5: área \( 25 \). Lado \( 5 + 2 = 7 \): área \( 7^2 = 49 \) – não \( 25 + 4 = 29 \)! A figura mostra por quê: \( 25 + 10 + 10 + 4 = 49 \). O quadrado antigo, duas faixas e um quadradinho no canto.

O quadrado antigo (25), duas faixas (10 cada) e o canto (4).
O quadrado antigo (25), duas faixas (10 cada) e o canto (4).

1º produto notável

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Não esqueça as duas faixas! Exemplos: \( 11^2 = (10 + 1)^2 = 100 + 20 + 1 = 121 \), \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \).

Lado \( 5 - 2 = 3 \): área \( 9 = 25 - 10 - 10 + 4 \). O canto foi cortado duas vezes, por isso volta uma vez.

Duas faixas fora, o canto volta uma vez: 25 - 10 - 10 + 4 = 9 .
Duas faixas fora, o canto volta uma vez: \( 25 - 10 - 10 + 4 = 9 \).

2º produto notável

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). No final fica mais \( b^2 \). Exemplo: \( 9^2 = (10 - 1)^2 = 100 - 20 + 1 = 81 \).

Um lado +2 , o outro -2 : cortar o canto, girar o pedaço – o retângulo 7 · 3 = 21 = 25 - 4 .
Um lado \( +2 \), o outro \( -2 \): cortar o canto, girar o pedaço – o retângulo \( 7 \cdot 3 = 21 = 25 - 4 \).

3º produto notável

\( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \). Exemplos: \( 21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399 \), \( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25 \).

Atenção, erro comum: \( (a + b)^2 \) não é \( a^2 + b^2 \).

A folha de exercícios

Aqui está a folha de exercícios do vídeo (em alemão). Primeiro ela explica tudo de novo, depois vêm exercícios em três níveis de dificuldade. Você também pode abrir como PDF e imprimir.

📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)

A folha de exercícios – Página 1
Página 1/6
A folha de exercícios – Página 2
Página 2/6
A folha de exercícios – Página 3
Página 3/6
A folha de exercícios – Página 4
Página 4/6
A folha de exercícios – Página 5
Página 5/6
Mostrar as soluções da folha
A folha de exercícios – Página 6
Página 6/6

Tente você

Tarefa

Calcule com os produtos notáveis: a) \( 31^2 \) b) \( 19^2 \) c) \( 12 \cdot 8 \) d) \( (x + 4)^2 \)

Mostrar solução

a) \( 900 + 60 + 1 = 961 \) b) \( 400 - 40 + 1 = 361 \) c) \( 100 - 4 = 96 \) d) \( x^2 + 8x + 16 \)

Continue aprendendo com um modelo de linguagem

Você é meu professor de matemática. Estou aprendendo alemão como segunda língua. Nosso tema: os três produtos notáveis (a + b)², (a − b)² e (a + b)(a − b), também para cálculo mental. Me dê cinco tarefas curtas, uma depois da outra. Espere sempre a minha resposta. Depois diga se está certa e explique rapidamente por quê. Escreva em frases simples em alemão e coloque a tradução em português entre parênteses depois de cada frase.

Como isto foi feito: a ideia, a estrutura e os exemplos da série são meus. A série foi feita com a ajuda de IA: um modelo de linguagem (LLM) criou os slides do vídeo seguindo as minhas instruções. A voz foi gerada com Qwen3-TTS, a partir da minha própria voz.

As legendas, as traduções, a folha de exercícios e esta página também foram feitas com a ajuda de IA. As traduções não foram revisadas por falantes nativos.

Os vídeos, as folhas de exercícios, os textos e os prompts desta série estão sob a licença CC BY 4.0: você pode usar, alterar e compartilhar, desde que cite a fonte.