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Calcular con raíces

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Multiplicar raíces significa multiplicar radicandos: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). Y una raíz se puede escribir como potencia: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).
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El vídeo

Fíjate en los colores: el radicando es lila, el exponente es naranja.

Hay subtítulos en diez idiomas. Los eliges en el vídeo, abajo a la derecha.

Contenido del vídeo

  1. 0:00 Introducción
  2. 0:15 Un ejemplo
  3. 0:54 ¿Por qué vale esto?
  4. 1:26 Dos números irracionales
  5. 2:07 Simplificar raíces
  6. 2:27 ¡Cuidado, error!
  7. 2:48 La raíz como potencia
  8. 3:28 La raíz n-ésima como potencia
  9. 4:01 Pruébalo tú mismo

Lo más importante

\( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \) y \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \). Los dos caminos llevan al mismo resultado.

Justificación con la 4.ª ley de las potencias: (\sqrt{a} · \sqrt{b})^2 = a · b .
Justificación con la 4.ª ley de las potencias: \( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b \).

Multiplicar raíces

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) (para \( a, b \geq 0 \)). Multiplicar raíces significa multiplicar radicandos. Cuidado: esto no vale con el más: \( \sqrt{9 + 16} = 5 \), pero \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \).

Dos números irracionales: \sqrt{12} · \sqrt{108} = \sqrt{4 · 36 · 9} = 2 · 6 · 3 = 36 .
Dos números irracionales: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 36 \cdot 9} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \).

Simplificar raíces: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \).

Deducción: (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 , así que 2x = 1 y x = 1/2 .
Deducción: \( (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 \), así que \( 2x = 1 \) y \( x = \frac{1}{2} \).

La raíz como potencia

\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \), en general \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \). Ejemplos: \( 4^{\frac{1}{2}} = 2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \).

La hoja de trabajo

Aquí ves la hoja de trabajo del vídeo (en alemán). Arriba explica todo otra vez; después hay ejercicios con tres niveles de dificultad. También puedes abrirla como PDF e imprimirla.

📄 Abrir la hoja de trabajo (PDF, en alemán)

La hoja de trabajo – Página 1
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La hoja de trabajo – Página 2
Página 2/5
La hoja de trabajo – Página 3
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La hoja de trabajo – Página 4
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Mostrar las soluciones de la hoja de trabajo
La hoja de trabajo – Página 5
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Pruébalo tú mismo

Ejercicio

Calcula: a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \) b) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \) c) \( 9^{\frac{1}{2}} \) d) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

Mostrar la solución

a) \( 4 \) b) \( 9 \) c) \( 3 \) d) \( 3 \)

Seguir aprendiendo con un modelo de lenguaje

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Rechnen mit Wurzeln (Wurzel a mal Wurzel b = Wurzel aus a mal b, Wurzel als Potenz mit Bruch im Exponenten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Así se hizo: la idea, la estructura y los ejemplos de la serie son míos. Los realicé con ayuda de IA: un modelo de lenguaje (LLM) construyó las diapositivas del vídeo siguiendo mis instrucciones. La voz se generó con Qwen3-TTS, a partir de mi propia voz.

También los subtítulos, las traducciones, la hoja de trabajo y esta página se hicieron con ayuda de IA. Ningún hablante nativo ha revisado las traducciones.

Los vídeos, las hojas de trabajo, los textos y los prompts de esta serie tienen la licencia CC BY 4.0: puedes usarlos, modificarlos y compartirlos si nombras la fuente.