Calcular com raízes

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Multiplicar raízes é multiplicar os radicandos: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). E uma raiz pode ser escrita como potência: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).

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O vídeo

Preste atenção nas cores: o radicando é roxo, o expoente é laranja.

Há legendas em dez idiomas. Escolha no vídeo, embaixo à direita.

O mais importante

\( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \) e \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \). Os dois caminhos dão o mesmo resultado.

Justificativa com a 4ª propriedade das potências: (\sqrt{a} · \sqrt{b})^2 = a · b . — Justificativa com a 4ª propriedade das potências: \( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b \).

Multiplicar raízes

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) (para \( a, b \geq 0 \)). Multiplicar raízes é multiplicar os radicandos (die Radikanden). Atenção: na soma não vale: \( \sqrt{9 + 16} = 5 \), mas \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \).

Dois números irracionais: \sqrt{12} · \sqrt{108} = \sqrt{4 · 36 · 9} = 2 · 6 · 3 = 36 . — Dois números irracionais: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 36 \cdot 9} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \).

Simplificar raízes: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \).

Dedução: (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 , então 2x = 1 e x = 1/2 . — Dedução: \( (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 \), então \( 2x = 1 \) e \( x = \frac{1}{2} \).

A raiz como potência

\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \), em geral \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \). Exemplos: \( 4^{\frac{1}{2}} = 2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \).

A folha de exercícios

Aqui está a folha de exercícios do vídeo (em alemão). Primeiro ela explica tudo de novo, depois vêm exercícios em três níveis de dificuldade. Você também pode abrir como PDF e imprimir.

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A folha de exercícios – Página 1 — Página 1/5

A folha de exercícios – Página 2 — Página 2/5

A folha de exercícios – Página 3 — Página 3/5

A folha de exercícios – Página 4 — Página 4/5

Mostrar as soluções da folha

A folha de exercícios – Página 5 — Página 5/5

Tente você

Tarefa

Calcule: a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \) b) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \) c) \( 9^{\frac{1}{2}} \) d) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

Mostrar solução

a) \( 4 \) b) \( 9 \) c) \( 3 \) d) \( 3 \)

Continue aprendendo com um modelo de linguagem

Você é meu professor de matemática. Estou aprendendo alemão como segunda língua. Nosso tema: calcular com raízes (raiz de a vezes raiz de b = raiz de a vezes b, a raiz como potência com fração no expoente). Me dê cinco tarefas curtas, uma depois da outra. Espere sempre a minha resposta. Depois diga se está certa e explique rapidamente por quê. Escreva em frases simples em alemão e coloque a tradução em português entre parênteses depois de cada frase.

Como isto foi feito: a ideia, a estrutura e os exemplos da série são meus. A série foi feita com a ajuda de IA: um modelo de linguagem (LLM) criou os slides do vídeo seguindo as minhas instruções. A voz foi gerada com Qwen3-TTS, a partir da minha própria voz.

As legendas, as traduções, a folha de exercícios e esta página também foram feitas com a ajuda de IA. As traduções não foram revisadas por falantes nativos.

Os vídeos, as folhas de exercícios, os textos e os prompts desta série estão sob a licença CC BY 4.0: você pode usar, alterar e compartilhar, desde que cite a fonte.