targas-edu.de
DE ☾ A+

Експоненциален растеж

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Винаги по едно и също число: \( y = a \cdot q^n \). От шахматната дъска с житни зърна до сложната лихва.
📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Обърни внимание на цветовете: линейният растеж е син, експоненциалният е оранжев.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Съдържание на видеото

  1. 0:00 Въведение
  2. 0:19 Винаги двойно
  3. 0:45 Линеен или експоненциален?
  4. 1:13 Формулата
  5. 1:36 Сложна лихва
  6. 2:00 Експоненциално намаляване
  7. 2:19 Опитай сам

Най-важното

Легенда: на първото поле на шахматната дъска едно житно зърно, на всяко следващо двойно повече. Поле \( n \): \( 2^{n-1} \) зърна. Поле 64: \( 2^{63} \approx 9{,}2 \cdot 10^{18} \).

Линеен ( +2 ) срещу експоненциален ( · 2 ): от третия ден B е по-голямо.
Линеен (\( +2 \)) срещу експоненциален (\( \cdot 2 \)): от третия ден B е по-голямо.

Експоненциален растеж

\( y = a \cdot q^n \): начална стойност \( a \), множител на растеж \( q \), брой стъпки \( n \). \( q > 1 \): растеж, \( 0 < q < 1 \): намаляване.

Шахматна дъска: на всяко поле двойно повече зърна.
Шахматна дъска: на всяко поле двойно повече зърна.

Сложна лихва: \( 5\;\% \rightarrow q = 1{,}05 \). \( 1000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 1628{,}89 \) €. Намаляване: \( q = 0{,}5 \): \( 100 \rightarrow 50 \rightarrow 25 \rightarrow 12{,}5 \).

Експоненциално намаляване с множител 0{,}5 .
Експоненциално намаляване с множител \( 0{,}5 \).

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1
Страница 1/5
Работният лист – Страница 2
Страница 2/5
Работният лист – Страница 3
Страница 3/5
Работният лист – Страница 4
Страница 4/5
Покажи решенията на работния лист
Работният лист – Страница 5
Страница 5/5

Опитай!

Задача

Пресметни: a) \( 100 \cdot 2^5 \) b) \( 3\;\% \rightarrow q = \;? \) c) \( -10\;\% \rightarrow q = \;? \) d) \( 1000 \cdot 1{,}1^2 \)

Покажи решението

a) \( 3200 \) b) \( 1{,}03 \) c) \( 0{,}9 \) d) \( 1210 \)

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: експоненциален растеж (y = a по q на степен n, множител на растеж, проценти, сложна лихва, намаляване). Дай ми една след друга пет кратки задачи. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е вярно и обясни накратко защо. Пиши с прости немски изречения и след всяко изречение дай превод на български в скоби.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.