Логаритъм

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Две на колко е осем? Логаритъмът търси показателя: \( \log_2 8 = 3 \), защото \( 2^3 = 8 \).

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Обърни внимание на цветовете: основата е синя, показателят е оранжев, числото е лилаво.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Най-важното

Логаритъм

\( b^x = z \iff \log_b z = x \). Въпрос: основата на колко дава числото?

\( \log_2 16 = 4 \), \( \log_3 81 = 4 \). Основа 10: \( \lg 1000 = 3 \), \( \lg 0{,}01 = -2 \).

Графики на \log_2 x , \log_3 x и \lg x : всички минават през (1 \,|\, 0) . — Графики на \( \log_2 x \), \( \log_3 x \) и \( \lg x \): всички минават през \( (1 \,|\, 0) \).

Особени стойности: \( \log_b 1 = 0 \), \( \log_b b = 1 \). Приложение: \( 100 \cdot 2^x = 1600 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4 \).

Свойства на логаритмите

\( \lg(a \cdot c) = \lg a + \lg c \) и \( \lg(a^n) = n \cdot \lg a \). Оттук: \( 2^x = 10 \Rightarrow x \cdot \lg 2 = \lg 10 \Rightarrow x = \frac{\lg 10}{\lg 2} \approx 3{,}32 \).

Смяна на основата: \log_b z = \lg z/\lg b – с десетичния логаритъм пресмятаме всеки логаритъм. — Смяна на основата: \( \log_b z = \frac{\lg z}{\lg b} \) – с десетичния логаритъм пресмятаме всеки логаритъм.

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1 — Страница 1/8

Работният лист – Страница 2 — Страница 2/8

Работният лист – Страница 3 — Страница 3/8

Работният лист – Страница 4 — Страница 4/8

Работният лист – Страница 5 — Страница 5/8

Работният лист – Страница 6 — Страница 6/8

Работният лист – Страница 7 — Страница 7/8

Покажи решенията на работния лист

Работният лист – Страница 8 — Страница 8/8

Опитай!

Задача

Пресметни: a) \( \log_2 32 \) b) \( \lg 10\,000 \) c) \( \log_5 25 \) d) \( \log_3 1 \)

Покажи решението

a) \( 5 \) b) \( 4 \) c) \( 2 \) d) \( 0 \)

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: логаритъм (основата на колко дава числото, например логаритъм от 8 при основа 2 = 3, десетичен логаритъм). Дай ми една след друга пет кратки задачи. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е вярно и обясни накратко защо. Пиши с прости немски изречения и след всяко изречение дай превод на български в скоби.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.