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El logaritmo

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¿Dos elevado a cuánto es ocho? El logaritmo busca el exponente: \( \log_2 8 = 3 \), porque \( 2^3 = 8 \).
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El vídeo

Fíjate en los colores: la base es azul, el exponente es naranja, el número es lila.

Hay subtítulos en diez idiomas. Los eliges en el vídeo, abajo a la derecha.

Contenido del vídeo

  1. 0:00 Introducción
  2. 0:16 La escritura
  3. 0:42 Ejemplos
  4. 1:01 El logaritmo decimal
  5. 1:18 Leyes de los logaritmos
  6. 1:57 Dibujar gráficas
  7. 2:18 Una base basta
  8. 2:57 Prueba en la gráfica
  9. 3:21 Historia
  10. 3:38 Pruébalo tú mismo

Lo más importante

Logaritmo (der Logarithmus)

\( b^x = z \iff \log_b z = x \). Pregunta: ¿base elevada a cuánto da el número?

Potencia: se busca el resultado. Raíz: se busca la base. Logaritmo: se busca el exponente.
Potencia: se busca el resultado. Raíz: se busca la base. Logaritmo: se busca el exponente.

\( \log_2 16 = 4 \), \( \log_3 81 = 4 \). Base 10: \( \lg 1000 = 3 \), \( \lg 0{,}01 = -2 \).

Gráficas de \log_2 x , \log_3 x y \lg x : todas pasan por (1 \,|\, 0) .
Gráficas de \( \log_2 x \), \( \log_3 x \) y \( \lg x \): todas pasan por \( (1 \,|\, 0) \).

Valores especiales: \( \log_b 1 = 0 \), \( \log_b b = 1 \). Aplicación: \( 100 \cdot 2^x = 1600 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4 \).

Leyes de los logaritmos

\( \lg(a \cdot c) = \lg a + \lg c \) y \( \lg(a^n) = n \cdot \lg a \). De ahí se deduce: \( 2^x = 10 \Rightarrow x \cdot \lg 2 = \lg 10 \Rightarrow x = \frac{\lg 10}{\lg 2} \approx 3{,}32 \).

Cambio de base: \log_b z = \lg z/\lg b : con el logaritmo decimal se calcula cualquier logaritmo.
Cambio de base: \( \log_b z = \frac{\lg z}{\lg b} \): con el logaritmo decimal se calcula cualquier logaritmo.

La hoja de trabajo

Aquí ves la hoja de trabajo del vídeo (en alemán). Arriba explica todo otra vez; después hay ejercicios con tres niveles de dificultad. También puedes abrirla como PDF e imprimirla.

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Pruébalo tú mismo

Ejercicio

Calcula: a) \( \log_2 32 \) b) \( \lg 10\,000 \) c) \( \log_5 25 \) d) \( \log_3 1 \)

Mostrar la solución

a) \( 5 \) b) \( 4 \) c) \( 2 \) d) \( 0 \)

Seguir aprendiendo con un modelo de lenguaje

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: der Logarithmus (Basis hoch wie viel ergibt die Zahl, zum Beispiel log 2 von 8 = 3, Zehnerlogarithmus). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Así se hizo: la idea, la estructura y los ejemplos de la serie son míos. Los realicé con ayuda de IA: un modelo de lenguaje (LLM) construyó las diapositivas del vídeo siguiendo mis instrucciones. La voz se generó con Qwen3-TTS, a partir de mi propia voz.

También los subtítulos, las traducciones, la hoja de trabajo y esta página se hicieron con ayuda de IA. Ningún hablante nativo ha revisado las traducciones.

Los vídeos, las hojas de trabajo, los textos y los prompts de esta serie tienen la licencia CC BY 4.0: puedes usarlos, modificarlos y compartirlos si nombras la fuente.