targas-edu.de
DE ☾ A+

Logarytm

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Dwa do jakiej potęgi daje osiem? Logarytm szuka wykładnika: \( \log_2 8 = 3 \), bo \( 2^3 = 8 \).
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: podstawa jest niebieska, wykładnik jest pomarańczowy, liczba jest fioletowa.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp
  2. 0:16 Zapis
  3. 0:42 Przykłady
  4. 1:01 Logarytm dziesiętny
  5. 1:18 Prawa logarytmów
  6. 1:57 Rysowanie wykresów
  7. 2:18 Wystarczy jedna podstawa
  8. 2:57 Próba na wykresie
  9. 3:21 Historia
  10. 3:38 Spróbuj sam

Najważniejsze

Logarytm (der Logarithmus)

\( b^x = z \iff \log_b z = x \). Pytanie: podstawa do jakiej potęgi daje liczbę?

Potęga: szukamy wyniku. Pierwiastek: szukamy podstawy. Logarytm: szukamy wykładnika.
Potęga: szukamy wyniku. Pierwiastek: szukamy podstawy. Logarytm: szukamy wykładnika.

\( \log_2 16 = 4 \), \( \log_3 81 = 4 \). Podstawa 10: \( \lg 1000 = 3 \), \( \lg 0{,}01 = -2 \).

Wykresy \log_2 x , \log_3 x i \lg x : wszystkie przechodzą przez (1 \,|\, 0) .
Wykresy \( \log_2 x \), \( \log_3 x \) i \( \lg x \): wszystkie przechodzą przez \( (1 \,|\, 0) \).

Szczególne wartości: \( \log_b 1 = 0 \), \( \log_b b = 1 \). Zastosowanie: \( 100 \cdot 2^x = 1600 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4 \).

Prawa logarytmów

\( \lg(a \cdot c) = \lg a + \lg c \) i \( \lg(a^n) = n \cdot \lg a \). Stąd wynika: \( 2^x = 10 \Rightarrow x \cdot \lg 2 = \lg 10 \Rightarrow x = \frac{\lg 10}{\lg 2} \approx 3{,}32 \).

Zmiana podstawy: \log_b z = \lg z/\lg b – logarytmem dziesiętnym obliczysz każdy logarytm.
Zmiana podstawy: \( \log_b z = \frac{\lg z}{\lg b} \) – logarytmem dziesiętnym obliczysz każdy logarytm.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/8
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/8
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/8
Karta pracy – Strona 4
Strona 4/8
Karta pracy – Strona 5
Strona 5/8
Karta pracy – Strona 6
Strona 6/8
Karta pracy – Strona 7
Strona 7/8
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 8
Strona 8/8

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz: a) \( \log_2 32 \) b) \( \lg 10\,000 \) c) \( \log_5 25 \) d) \( \log_3 1 \)

Pokaż rozwiązanie

a) \( 5 \) b) \( 4 \) c) \( 2 \) d) \( 0 \)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: der Logarithmus (Basis hoch wie viel ergibt die Zahl, zum Beispiel log 2 von 8 = 3, Zehnerlogarithmus). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.