targas-edu.de
DE ☾ A+

Wzrost wykładniczy

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Zawsze razy ta sama liczba: \( y = a \cdot q^n \). Od szachownicy z ziarnami pszenicy po procent składany.
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: wzrost liniowy jest niebieski, wykładniczy jest pomarańczowy.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp
  2. 0:19 Zawsze podwójnie
  3. 0:45 Liniowy czy wykładniczy?
  4. 1:13 Wzór
  5. 1:36 Procent składany
  6. 2:00 Spadek wykładniczy
  7. 2:19 Spróbuj sam

Najważniejsze

Legenda: na pierwsze pole szachownicy jedno ziarno pszenicy, na każde następne dwa razy tyle. Pole \( n \): \( 2^{n-1} \) ziaren. Pole 64: \( 2^{63} \approx 9{,}2 \cdot 10^{18} \).

Liniowy ( +2 ) kontra wykładniczy ( · 2 ): od dnia 3 B jest większe.
Liniowy (\( +2 \)) kontra wykładniczy (\( \cdot 2 \)): od dnia 3 B jest większe.

Wzrost wykładniczy (exponentielles Wachstum)

\( y = a \cdot q^n \): wartość początkowa \( a \), współczynnik wzrostu \( q \), liczba kroków \( n \). \( q > 1 \): wzrost, \( 0 < q < 1 \): spadek.

Szachownica: każde pole dwa razy więcej ziaren.
Szachownica: każde pole dwa razy więcej ziaren.

Procent składany (Zinseszins): \( 5\;\% \rightarrow q = 1{,}05 \). \( 1000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 1628{,}89 \) €. Spadek: \( q = 0{,}5 \): \( 100 \rightarrow 50 \rightarrow 25 \rightarrow 12{,}5 \).

Spadek wykładniczy ze współczynnikiem 0{,}5 .
Spadek wykładniczy ze współczynnikiem \( 0{,}5 \).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/5
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/5
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/5
Karta pracy – Strona 4
Strona 4/5
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 5
Strona 5/5

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz: a) \( 100 \cdot 2^5 \) b) \( 3\;\% \rightarrow q = \;? \) c) \( -10\;\% \rightarrow q = \;? \) d) \( 1000 \cdot 1{,}1^2 \)

Pokaż rozwiązanie

a) \( 3200 \) b) \( 1{,}03 \) c) \( 0{,}9 \) d) \( 1210 \)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: exponentielles Wachstum (y = a mal q hoch n, Wachstumsfaktor, Prozente, Zinseszins, Abnahme). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.