targas-edu.de
DE ☾ A+

Логарифм

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Два в какой степени равно восьми? Логарифм ищет показатель: \( \log_2 8 = 3 \), потому что \( 2^3 = 8 \).
📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

Обрати внимание на цвета: основание — синее, показатель — оранжевый, число — фиолетовое.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Содержание видео

  1. 0:00 Введение
  2. 0:16 Запись
  3. 0:42 Примеры
  4. 1:01 Десятичный логарифм
  5. 1:18 Свойства логарифмов
  6. 1:57 Строим графики
  7. 2:18 Одного основания достаточно
  8. 2:57 Проверка по графику
  9. 3:21 История
  10. 3:38 Попробуй сам

Самое важное

Логарифм

\( b^x = z \iff \log_b z = x \). Вопрос: основание в какой степени даёт число?

Степень: ищем результат. Корень: ищем основание. Логарифм: ищем показатель.
Степень: ищем результат. Корень: ищем основание. Логарифм: ищем показатель.

\( \log_2 16 = 4 \), \( \log_3 81 = 4 \). Основание 10: \( \lg 1000 = 3 \), \( \lg 0{,}01 = -2 \).

Графики \log_2 x , \log_3 x и \lg x : все проходят через (1 \,|\, 0) .
Графики \( \log_2 x \), \( \log_3 x \) и \( \lg x \): все проходят через \( (1 \,|\, 0) \).

Особые значения: \( \log_b 1 = 0 \), \( \log_b b = 1 \). Применение: \( 100 \cdot 2^x = 1600 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4 \).

Свойства логарифмов

\( \lg(a \cdot c) = \lg a + \lg c \) и \( \lg(a^n) = n \cdot \lg a \). Отсюда: \( 2^x = 10 \Rightarrow x \cdot \lg 2 = \lg 10 \Rightarrow x = \frac{\lg 10}{\lg 2} \approx 3{,}32 \).

Переход к другому основанию: \log_b z = \lg z/\lg b — десятичным логарифмом можно вычислить любой логарифм.
Переход к другому основанию: \( \log_b z = \frac{\lg z}{\lg b} \) — десятичным логарифмом можно вычислить любой логарифм.

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1
Страница 1/8
Рабочий лист – Страница 2
Страница 2/8
Рабочий лист – Страница 3
Страница 3/8
Рабочий лист – Страница 4
Страница 4/8
Рабочий лист – Страница 5
Страница 5/8
Рабочий лист – Страница 6
Страница 6/8
Рабочий лист – Страница 7
Страница 7/8
Показать решения рабочего листа
Рабочий лист – Страница 8
Страница 8/8

Попробуй!

Задание

Вычисли: a) \( \log_2 32 \) b) \( \lg 10\,000 \) c) \( \log_5 25 \) d) \( \log_3 1 \)

Показать решение

a) \( 5 \) b) \( 4 \) c) \( 2 \) d) \( 0 \)

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: логарифм (основание в какой степени даёт число, например логарифм 8 по основанию 2 = 3, десятичный логарифм). Дай мне по очереди пять коротких заданий. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли, и коротко объясни почему. Пиши простыми немецкими предложениями и после каждого предложения давай перевод на русский в скобках.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.