targas-edu.de
DE ☾ A+

Postać ogólna i dopełnianie do kwadratu

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Parabolę można zapisać na dwa sposoby: w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej. Uczysz się przechodzić od jednej do drugiej.
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie wyrażenia są przepisywane wiersz po wierszu. Na końcu wykres pokazuje wierzchołek.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Dwie postaci
  2. 0:27 Wymnażanie nawiasu
  3. 0:54 Dopełnianie do kwadratu
  4. 1:21 Wierzchołek
  5. 1:48 Uwaga, błąd!
  6. 2:22 Spróbuj sam

Najważniejsze

Postać kanoniczna → postać ogólna

Rozwiń nawias wzorem skróconego mnożenia (die binomische Formel): \((x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5\).

Rozwijanie nawiasu.
Rozwijanie nawiasu.

Postać ogólna → postać kanoniczna

Dopełnianie do kwadratu (die quadratische Ergänzung) dla \(y = x^2 + 6x + 5\): podziel przez dwa liczbę stojącą przed \(x\): \(6 : 2 = 3\). Podnieś do kwadratu: \(3^2 = 9\). Dodaj i odejmij 9: \(x^2 + 6x + 9 - 9 + 5\).

Dodawanie i odejmowanie 9.
Dodawanie i odejmowanie 9.

Pierwsze trzy wyrazy to \((x + 3)^2\). Zostaje \(-9 + 5 = -4\). Zatem \(y = (x + 3)^2 - 4\) i \(S(-3|-4)\).

Parabola y = x^2 + 6x + 5 z S(-3|-4).
Parabola \(y = x^2 + 6x + 5\) z \(S(-3|-4)\).

Uwaga: napisanie samego \(+9\) jest błędem. Musisz napisać też \(-9\). Sprawdź dla \(x = 0\): postać ogólna \(y = 5\); poprawnie \((0 + 3)^2 - 4 = 5\).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/3
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/3
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/3

Spróbuj sam

Zadanie

Zapisz \(y = x^2 - 8x + 10\) w postaci kanonicznej. Jaki jest wierzchołek?

Pokaż rozwiązanie

\(y = (x - 4)^2 - 16 + 10 = (x - 4)^2 - 6\). \(S(4|-6)\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Normalform und Scheitelpunktform, quadratische Ergänzung. Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.