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Relações de Girard (Teorema de Vieta)

Esta página foi traduzida do alemão com IA. Não foi revisada por um falante nativo. Página original em alemão

Em \(x^2 + px + q = 0\) as soluções estão ligadas a \(p\) e \(q\). Assim dá para adivinhar soluções e montar equações.
📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)

O vídeo

No vídeo descobrimos o teorema em \(x^2 - 5x + 6 = 0\) e adivinhamos as soluções de \(x^2 + x - 12 = 0\).

Há legendas em dez idiomas. Escolha no vídeo, embaixo à direita.

Conteúdo do vídeo

  1. 0:00 Introdução
  2. 0:21 O teorema de Vieta
  3. 0:51 Adivinhar soluções
  4. 1:20 Montar a equação
  5. 1:43 Atenção, erro!
  6. 2:09 Tente você mesmo

O mais importante

Teorema de Vieta

Se \(x^2 + px + q = 0\) tem as soluções \(x_1\) e \(x_2\), então \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 \cdot x_2 = q\) (der Satz von Vieta).

Justificativa: (x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)· x + x_1 x_2.
Justificativa: \((x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)\cdot x + x_1 x_2\).

Adivinhar: \(x^2 + x - 12 = 0\). Procuramos dois números com produto \(-12\) e soma \(-1\): \(-4\) e \(3\).

Adivinhar soluções.
Adivinhar soluções.

Ao contrário: as soluções \(-2\) e \(5\) dão \(p = -3\), \(q = -10\), ou seja, \(x^2 - 3x - 10 = 0\).

Montar a equação.
Montar a equação.

Atenção: a soma é \(-p\), não \(p\). Em \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(x_1 + x_2 = 5\).

A folha de exercícios

Aqui está a folha de exercícios do vídeo (em alemão). Primeiro ela explica tudo de novo, depois vêm exercícios em três níveis de dificuldade. Você também pode abrir como PDF e imprimir.

📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)

A folha de exercícios – Página 1
Página 1/4
A folha de exercícios – Página 2
Página 2/4
A folha de exercícios – Página 3
Página 3/4
Mostrar as soluções da folha
A folha de exercícios – Página 4
Página 4/4

Tente você

Tarefa

Adivinhe as soluções de \(x^2 - 7x + 10 = 0\) com o teorema de Vieta.

Mostrar solução

\(2 \cdot 5 = 10\) e \(2 + 5 = 7\): \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\).

Continue aprendendo com um modelo de linguagem

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Satz von Vieta (x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q, Lösungen raten, Gleichung aufstellen). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Como isto foi feito: a ideia, a estrutura e os exemplos da série são meus. A série foi feita com a ajuda de IA: um modelo de linguagem (LLM) criou os slides do vídeo seguindo as minhas instruções. A voz foi gerada com Qwen3-TTS, a partir da minha própria voz.

As legendas, as traduções, a folha de exercícios e esta página também foram feitas com a ajuda de IA. As traduções não foram revisadas por falantes nativos.

Os vídeos, as folhas de exercícios, os textos e os prompts desta série estão sob a licença CC BY 4.0: você pode usar, alterar e compartilhar, desde que cite a fonte.