targas-edu.de
DE ☾ A+

Косинусова теорема

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Научаваш косинусовата теорема (der Kosinussatz). Тя важи във всеки триъгълник и обобщава теоремата на Питагор.
📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Във видеото виждаш кога ти трябва косинусовата теорема: при две страни и ъгъла между тях или при три страни. После изчисляваш страна и ъгъл.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Съдържание на видеото

  1. 0:00 Въведение
  2. 0:21 Косинусовата теорема
  3. 0:49 Питагор като частен случай
  4. 1:09 Изчисляваме страна
  5. 1:43 Изчисляваме ъгъл
  6. 2:22 Внимание, грешка!
  7. 2:48 Опитай сам

Най-важното

Косинусова теорема

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma\). Страната \(c\) лежи срещу \(\gamma\). Същото за \(a\) и \(b\).

Косинусовата теорема в \triangle ABC.
Косинусовата теорема в \(\triangle ABC\).

Частен случай и приложение

При \(\gamma = 90^\circ\) е \(\cos 90^\circ = 0\): остава теоремата на Питагор. Страна: \(a = 5\), \(b = 7\), \(\gamma = 60^\circ\) дава \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\). Ъгъл: \(\cos\gamma = (a^2 + b^2 - c^2) : 2ab\).

Изчисляваме страна: c^2 = 39, c \approx 6{,}24.
Изчисляваме страна: \(c^2 = 39\), \(c \approx 6{,}24\).
Грешка: забравен корен (c = 39). Правилно е c = \sqrt{39}.
Грешка: забравен корен (\(c = 39\)). Правилно е \(c = \sqrt{39}\).

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1
Страница 1/3
Работният лист – Страница 2
Страница 2/3
Покажи решенията на работния лист
Работният лист – Страница 3
Страница 3/3

Опитай!

Задача

\(a = 4\), \(b = 5\) и \(\gamma = 120^\circ\). Колко е \(c\)?

Покажи решението

\(c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-0{,}5) = 61\), значи \(c \approx 7{,}81\).

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: Kosinussatz (zwei Seiten und Winkel dazwischen, drei Seiten, Pythagoras als Sonderfall). Дай ми един по един пет кратки задачи. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е правилно и обясни накратко защо. Използвай прости немски изречения.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.