targas-edu.de
DE ☾ A+

Twierdzenie cosinusów

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Poznajesz twierdzenie cosinusów (der Kosinussatz). Obowiązuje w każdym trójkącie i jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie widzisz, kiedy potrzebujesz twierdzenia cosinusów: przy dwóch bokach i kącie między nimi albo przy trzech bokach. Potem obliczasz bok i kąt.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp
  2. 0:21 Twierdzenie cosinusów
  3. 0:49 Pitagoras jako przypadek szczególny
  4. 1:09 Obliczanie boku
  5. 1:43 Obliczanie kąta
  6. 2:22 Uwaga, błąd!
  7. 2:48 Spróbuj sam

Najważniejsze

Twierdzenie cosinusów

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma\). Bok \(c\) leży naprzeciw \(\gamma\). Tak samo dla \(a\) i \(b\).

Twierdzenie cosinusów w \triangle ABC.
Twierdzenie cosinusów w \(\triangle ABC\).

Przypadek szczególny i zastosowanie

Przy \(\gamma = 90^\circ\) jest \(\cos 90^\circ = 0\): zostaje twierdzenie Pitagorasa. Bok: \(a = 5\), \(b = 7\), \(\gamma = 60^\circ\) daje \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\). Kąt: \(\cos\gamma = (a^2 + b^2 - c^2) : 2ab\).

Obliczanie boku: c^2 = 39, c \approx 6{,}24.
Obliczanie boku: \(c^2 = 39\), \(c \approx 6{,}24\).
Błąd: zapomniano o pierwiastku (c = 39). Poprawnie jest c = \sqrt{39}.
Błąd: zapomniano o pierwiastku (\(c = 39\)). Poprawnie jest \(c = \sqrt{39}\).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/3
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/3
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/3

Spróbuj sam

Zadanie

\(a = 4\), \(b = 5\) i \(\gamma = 120^\circ\). Jak długi jest \(c\)?

Pokaż rozwiązanie

\(c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-0{,}5) = 61\), więc \(c \approx 7{,}81\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Kosinussatz (zwei Seiten und Winkel dazwischen, drei Seiten, Pythagoras als Sonderfall). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.